Enunciado

Escreva uma equação do plano perpendicular ao plano x   + y   + z   - 1   = 0 , paralelo à reta x 1 = y - 1 2 = z - 2 3 e passando por P   = ( 1,5 , 3 ) .

Passo 1

Pessoal, essa questão aqui não tem segredo. Só precisamos encontrar três vetores, considerar que eles são l.d., jogar no determinante, resolver e partir pro abraço.

O primeiro vetor vai ser o vetor normal a x   + y   + z   - 1   = 0 , porque o plano que queremos é perpendicular a esse plano. Logo,

n → = ( 1,1 , 1 )

pertence ao plano que temos que determinar.

O segundo vetor é o vetor diretor da reta, que está contida no plano. Vamos escrever as equações paramétricas da reta:

x 1 = y - 1 2 = z - 2 3 = λ ⇒ x = λ ,   y = 2 λ + 1 ,   z = 3 λ + 2

Com isso, vemos que

v → = ( 1,2 , 3 )

O terceiro vetor que precisamos é aquele que sai de um ponto X = ( x , y , z ) e vai até P   = ( 1,5 , 3 ) :

P X → = X - P = ( x , y , z ) - ( 1,5 , 3 ) = ( x - 1 , y - 5 , z - 3 )

Passo 2

Pronto, já descobrimos os três vetores. Agora, uma vez que eles tem que ser l.d., então o determinante dos três é nulo:

( x - 1 ) ( 2 - 3 ) - ( y - 5 ) ( 1 - 3 ) + ( z - 3 ) ( 1 - 2 ) = 0

⇒ - ( x - 1 ) + 2 ( y - 5 ) - ( z - 3 ) = 0 ⇒ - x + 1 + 2 y - 10 - z + 3 = 0

⇒ - x + 2 y - z - 6 = 0 ⇒ x - 2 y + z + 6 = 0

No último passo multiplicamos tudo por - 1 .

Resposta

x - 2 y + z + 6 = 0

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