Enunciado

Determine o foco F e a equação da diretriz da parábola   y   =   3 x ² . Dado o ponto P   =   ( 1 ,   3 ) sobre a curva, seja P0 sua projeção ortogonal sobre a diretriz. Mostre que a base FP0 do triângulo isósceles PFP0 é perpendicular `a tangente da parábola em P. Conclua que essa tangente é a bissetriz do ângulo F P P ^   0 .

Passo 1

Olá galera! tudo bem?

Bora junto resolver mais um problema!

Preparado?

Inicialmente temos uma parábola de equação y   =   3 x ² , sabemos que para determinar o foco e a reta diretriz usamos as relações matemáticas descritas abaixo:

( - b 2 a ,   4 a c - b 2 + 1 4 a )

y = 4 a c - b 2 - 1   4 a

Substituindo os valores teremos que a   =   3   ,   b = 0   e   c =   0 ; logo:

O foco será:

( - 0 2 . 3 ,   4 . 3.0   - 0 2 + 1 4 .   3 )

( 0   ,   1 12 )

A reta diretriz:

y = 4 . 3.0 - 0 2 - 1   4 . 3

y = - 1   12

Passo 2

Quase acabando vamos fazer uma pequena demonstração neste item, tranquilo!

Bora lá então!

Seja um triangulo ABC classificado como isósceles, tal que A B =   A C , considere tamnbpem uma bissetriz A D , temos que provar que B D =   C D

Dentro △   A   B   D   e   △   A   C   D

A   B = A   C (   ∵   △ A B C é um triângulo isósceles )

∠   B   A   D = ∠   C   A   D   ( ∵ AD é a bissetriz de ∠   A )

A D = A D ( Comum )

Por semelhança de triângulos temos que:

△     A B D   ≅   △ A C D

Por partes correspondentes de triângulos congruentes -

B D = D C

Assim, provou-se que a perpendicular traçada do ângulo do vértice à base bissecta o ângulo do vértice e a base.

Prontinho, acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

Foco ( 0   ,   1 12 )

Reta diretriz

y = - 1   12

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a equação da reta no plano que é perpendicular ao vetor N = ( 2,3 ) e passa pelo ponto P 0 = ( - 1,1 ) .
Faça um esboço das retas dadas a seguir:(x , y , z) = ( - 3 + 3 t , (3)/(2) - (1)/(2) t , 4 - 2 t )