Enunciado

Determine Q , projeção ortogonal do ponto P sobre a reta r , nos casos

P = 11 ,   15 ,   9 ,       r : x - 2 y + z + 7 = 0 = x + y - 2 z - 14

Passo 1

O problema quer que achemos a projeção ortogonal de P sobre a reta r . Para isso, vamos escrever a equação da reta r na forma vetorial:

x - 2 y + z = - 7 x + y - 2 z = 14

Isolando y na segunda equação

y = 14 - x + 2 z

Substotuindo na primeira

x - 28 + 2 x - 4 z + z = - 7 ⇒ 3 x - 3 z = 21 ⇒ z = x - 7

Assim,

y = 14 - x + 2 x - 14 = x

Portanto,

x ,   y ,   z = x ,   x ,   x - 7 = 0 ,   0 ,   - 7 + x   ( 1 ,   1 ,   1 )

O vetor diretor da reta é

u → = ( 1 ,   1 ,   1 )

Passo 2

Nosso objetivo é achar um ponto Q = ( x ,   x ,   x - 7 ) na reta r que seja a projeção ortogonal do ponto P = ( 11 ,   15 ,   9 ) sobre ela.

Para que Q seja a projeção ortogonal de P sobre a reta, o vetor diretor da reta deve ser ortogonal ao vetor   P Q → . Assim,

P Q → ⋅ u → = 0

Mas sabemos que

P Q → = Q - P = ( x - 11 ,   x - 15 ,   x - 16 )

Assim,

x - 11 ,   x - 15 ,   x - 16 ⋅ 1 ,   1 ,   1 = 0

Portanto,

x - 11 + x - 15 + x - 16 = 0 ⇒ 3 x = 42 ⇒ x = 14

Logo, a projeção é

Q = ( 14 ,   14 ,   7 )

Resposta

Q = ( 14 ,   14 ,   7 )

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