Enunciado

Obtenha equações da reta perpendicular comum às retas r e s .

r : X = 2 ,   0 ,   - 1 + λ   1 ,   1 ,   1                                               s : x + y - 2 = z = 0

Passo 1

O problema quer que achemos a reta que seja perpendicular tanto a r como a s . Primeiro vamos escrever a reta s na forma vetorial:

x + y - 2 = 0 z = 0

Assim,

y = 2 - x

Portanto,

x , y ,   z = x ,   2 - x ,   0 = 0 ,   2 ,   0 + x   ( 1 ,   - 1 ,   0 )

O vetor diretor de s é u → = ( 1 ,   - 1 ,   0 ) enquanto que o de r é v → = ( 1 ,   1 ,   1 ) . Como queremos uma reta que seja perpendicular as duas, o vetor diretor w → deve ser perpendicular tanto a u → como a v → . Assim, podemos achá-lo pelo produto vetorial:

w → = u → ∧ v → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - 1 ,   - 1 ,   2

Assim, o vetor diretor dessa reta é

w → = ( 1 ,   1 ,   - 2 )

Passo 2

Um ponto genérico da reta r é

A = ( 2 + μ ,   μ ,   1 - μ )

Já um ponto na reta s é

B = ( x ,   2 - x ,   0 )

Como queremos achar uma reta que corta essas duas e tem vetor diretor w → = ( 1 ,   1 ,   - 2 ) , vamos supor que A e B são esses pontos de encontro, de modo que   A B → e w → sejam paralelos. Assim,

A B → = k   w →

Portanto,

x - μ - 2 ,   2 - x - μ ,   μ - 1 = ( k ,   k , - 2 k )

Logo,

x - μ - 2 = k 2 - x - μ = k μ - 1 = - 2 k

Isolando x na primeira equação:

x = k + μ + 2

Substituindo na segunda:

2 - k - μ - 2 - μ = k ⇒ μ = - k

Colocando na terceira:

μ - 1 = 2 μ ⇒ μ = - 1 ⇒ k = 1 ⇒ x = 2

Assim,

A = 1 ,   - 1 ,   2               e                 B = ( 2 ,   0 ,   0 )

A reta passa por esses dois pontos e tem vetor diretor w → = ( 1 ,   1 ,   - 2 ) . Uma de suas equações é

X = 2 ,   0 ,   0 + λ   ( 1 ,   1 ,   - 2 )

Resposta

X = 2 ,   0 ,   0 + λ   ( 1 ,   1 ,   - 2 )

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