Enunciado

Determine a reta r que contém o ponto A , é paralela ao plano π e dista d da reta s .

(b) A = 1 ,   2 ,   0                           π : x + y + z = 1                           s : X = 0 ,   3 ,   2 + λ ( 1 ,   1 ,   0 )             d = 2

Passo 1

Queremos determinar a reta r que contém o ponto A = ( 1 ,   2 ,   0 ) , é paralela ao plano π : x + + y + z = 2 e dista d = 3 da reta s : X = 0 ,   3 ,   2 + λ ( 1 ,   1 ,   0 ) , certo?

Então, vamos lá!

Passo 2

Seja r → = ( m ,   n ,   p ) o vetor diretor da reta r .

Momento “bizu aí”.

Como a reta r é paralela ao plano π , o produto escalar do vetor diretor desta reta pelo vetor normal ao plano n → π é nulo. Logo:

n → . r → = 0

1 ,   1 ,   1   . m ,   n ,   p = 0

m + n + p = 0

Passo 3

Devemos analisar se a reta que queremos determinar é paralela à reta s dada. Para isso, vamos primeiro supor que elas NÃO são paralelas. Se essa condição for verdadeira não precisaremos testar o paralelismo. Logo, nesta condição r → ∧ s → ≠ 0 e usando a fórmula 20-10 com A = 1 ,   2 ,   0 ∈ r ,   B = ( 0 ,   3 ,   2 ) ∈ s , e os vetores r → = ( m ,   n ,   p ) paralelo à reta que queremos determinar e s → = ( 1 ,   1 ,   0 ) , paralelo a s :

d ( r , s ) = A B → . r → ∧ s → r → ∧ s →

= B - A . m ,   n ,   p ∧ ( 1 ,   1 ,   0 ) | ( m ,   n ,   p ) ∧ ( 1 ,   1 ,   0 ) |

= - 1 ,   1 ,   2 . - p ,   p . m - n   | | ( - p ,   p . m - n | |  

2 p + 2 m - 2 n 2 p 2 + m - n 2

Passo 4

A equação cima nos fornece:

- p 2 - 4 m p = 0 ⇒ p = 0 p = - 4 m

Se considerarmos p = 0 , temos:

m + n + p = 0 ⇒ m = - n

Com essas informações, um vetor diretor da reta é:

r → = m ,   n ,   p = 1 ,   - 1 ,   0

Logo, uma equação da reta é:

r : X = 1 ,   2 ,   0 + λ ( 1 ,   - 1 ,   0 )

Passo 5

Agora, para matarmos de vez essa questão, devemos olhar para o caso em que p = - 4 m . Obedecendo essa condição, a primeira equação nos dá:

m + n + p = 0 ⇒ n = 3 m

Com essas informações, um vetor diretor da reta é:

r → = m ,   n ,   p = 1 ,   3 ,   - 4

Logo, uma equação da reta é:

r : X = 1 ,   2 ,   0 + λ ( 1 ,   3 ,   - 4 )

Resposta

Duas soluções: r : X = 1 ,   2 ,   0 + λ ( 1 ,   - 1 ,   0 )

r : X = 1 ,   2 ,   0 + λ ( 1 ,   3 ,   - 4 )

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