Enunciado

6.1.3. Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos que equidistante das retas:

r: (x, y, z) = (0,-1,0) + t (1,0,0) e s: (x, y, z) = (0,1,0) = t (0,0,1).

Que lugar Geométrico é esse?

Passo 1

Sabendo que Lugar geométrico nada mais é do que um conjunto de pontos e, como todo conjunto, ele deve estar bem definido. Se um ponto possui uma propriedade podemos imaginar o conjunto de todas as posições que pode assumir. Podemos adotar como hipótese que o lugar geométrico nesse caso é uma quádrica.

O primeiro passo consiste em organizar em uma equação as informações dadas acima:

D i s t X , r = D i s t X , s

z 2 + y + 1 2 = y - 1 2 + x 2

Passo 2

O segundo passo é expandir e simplificar a equação acima, de forma a encontrar qual quádrica ela pertence.

z 2 + y + 1 2 = y - 1 2 + x 2

z 2 - x 2 = - 4 y

Passo 3

O Terceiro passo é encontrar a quádrica a qual essa equação pertence, e para isso, basta compará-la as equações gerais das quádricas. Nesse sentido, pode-se inferir que esta equação representa um PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO que pode ser descrito pela seguinte equação geral:

b y = x 2 a 2 - z 2 c 2

Ressalto aqui, que o Paraboloide Hiperbólico pode também ser expresso pelas seguintes equações: a x = y 2 b 2 - z 2 c 2   e c z = x 2 a 2 - y 2 b 2

Resposta

O lugar geométrico é um Paraboloide Hiperbólico.

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