Enunciado

Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares:

  1. f : R 2 → R 2
  2. ( x , y ) → x + y , x - y

  3. g : R 2 → R
  4. ( x , y ) → x y

  5. h : M 2 → R
  6. a c       b d → det ⁡ a c       b d

  7. k : P 2 → P 3
  8. a x 2 + b x + c → a x 3 + b x 2 + c x

  9. M : R 3 → R 2
  10. ( x , y , z ) → x , y , z 1 0 1       2 - 1 1

  11. N : R → R

x → | x |

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos dar uma olhada nesse item c), ele é similar aos itens anteriores, porém agora temos uma transformação diferente.

Passo 2

Para ser transformação linear, temos que atender dois requisitos:

i )   T v + u = T v + T u

i i )   T k v = k T ( v )

Passo 3

Testando nosso primeiro requisito a transformação do item c). Vamos supor duas matrizes u   e   v ,   que estão de acordo com nossa transformação:

  c )   h : M 2 → R

a c       b d → det ⁡ a c       b d

Sabendo que:

T a c       b d = det ⁡ a c       b d = ( a d - b c )

Vamos supor:

  u = a 1 c 1       b 1 d 1 → det ⁡ a 1 c 1       b 1 d 1 v = a 2 c 2       b 2 d 2 → det ⁡ a 2 c 2       b 2 d 2

Ou seja:

T u = a 1 d 1 - b 1 c 1

T v = a 2 d 2 - b 2 c 2

Vamos testar para a soma, então vamos somar as matrizes u   e   v :

T a 1 c 1       b 1 d 1 + a 2 c 2       b 2 d 2 = T a 1 + a 2 c 1 + c 2       b 1 + b 2 d 1 + d 2

T u + v = T a 1 + a 2 c 1 + c 2       b 1 + b 2 d 1 + d 2 =   a 1 + a 2 d 1 + d 2 - b 1 + b 2 c 1 + c 2

Fazendo o chuveirinho:

T u + v = a 1 d 1 + a 2 d 1 + a 1 d 2 + a 2 d 2 + - b 1 c 1 - b 1 c 2 - b 2 c 1 - b 2 c 2

Separando os termos com índice 1, dos termos de índice 2 e dos termos que possuem ambos os índices:

T u + v = a 1 d 1 - b 1 c 1 + a 2 d 2 - b 2 c 2 + a 2 d 1 + a 1 d 2 - b 1 c 2 - b 2 c 1

Olhando o lado direito do nosso requisito T u + T v teríamos:

T u + T v = det ⁡ u + d e t ⁡ ( v ) = a 1 d 1 - b 1 c 1 + a 2 d 2 - b 2 c 2

Então:

T u + v = T u + T v + a 2 d 1 + a 1 d 2 - b 1 c 2 - b 2 c 1

Logo T u + v ≠ T u + T ( v ) e não podemos considerar essa transformação linear

Passo 4

Olhando nosso segundo requisisto:

T k u = k T u

T k a 1 c 1       b 1 d 1 = T k a 1 k c 1       k b 1 k d 1

T k a 1 k c 1       k b 1 k d 1 = det ⁡ k a 1 k c 1       k b 1 k d 1 = k a 1 k d 1 - k b 1 k c 1

Como a multiplicação de uma constante por uma constante é uma constante, temos:

T k u = k a 1 d 1 - k b 1 c 1

T k u = k a 1 d 1 - b 1 c 1

Como T u = det ⁡ a 1 c 1       b 1 d 1 = a 1 d 1 - b 1 c 1 , temos que:

T k u = k det ⁡ a 1 c 1       b 1 d 1 = k T u

Então apesar dessa transformação ser fechada para o produto por escalar, não podemos considerar ela linear, porque ela não é fechada para a soma, como vimos no Passo 3.

Resposta

Não é linear.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam α = 1 , - 1 , 0,2 e β = 1,0 , - 1 , 0,1 , 2 , 1,2 , 0 bases de R 2 e R 3 respectivamente e T β α = 1 1 00 1 - 1 .Ache T . Se S ( x , y ) = ( 2 y , x - y , x ) ache S β α .Ache uma base γ de R 3
Seja D : P 3 → P 3 f → f " ( d e r i v a d as e g u n d a ) Mostre que D é linear e determine uma base para ker ⁡ D .
Seja A = 0 0 01 2 1 B = 0 1 - 10 2 0 0 1 0 Encontre ker ⁡ T A , I mT A , ker ⁡ T B , I mT B , ker ⁡ ( T B ∘ T A ) , I m T B ∘ T A . Determine bases para estes seis subespaços.
Um espelho plano está apoiado em uma parede vertical formando um ângulo de 30 ° com ela. Se um feixe de luz de raios paralelos for emitido verticalmente (do teto para o chão), determine a direção dos
Um espelho plano triangular é apoiado no canto de uma sala de forma descrita na figura abaixo.Em que direção será refletido um feixe de luz de raios paralelos emitidos verticalmente de cima para baixo