Enunciado

Sejam α = 1 , - 1 , 0,2 e β = 1,0 , - 1 , 0,1 , 2 , 1,2 , 0 bases de R 2 e R 3 respectivamente e T β α = 1 1 0       0 1 - 1 .

  1. Ache T .
  2. Se S ( x , y ) = ( 2 y , x - y , x ) ache S β α .
  3. Ache uma base γ de R 3 tal que T γ α = 1 0 0       0 0 1 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Primeiro temos que achar a transformação T sendo que conhecemos a base α em R 2 , então vamos fazer:

v α = x , y α

x , y α = a 1 , - 1 + b ( 0,2 )

x , y = a , - a + 2 b

Portanto:

S e   a = x   e n t ã o :

- a + 2 b = y

b = x + y 2

v α = x x + y 2

Passo 2

Agora teremos que encontrar v β   repetindo o mesmo raciocínio e lembrando que β está em R 3 , logo sabemos que:

v β = T β α v α

Então:

v β = 1 1 0       0 1 - 1 x x + y 2

v β = x x + x + 2 2 - x + 2 2

v β = x 3 x + y 2 - x - y 2

Passo 3

Agora podemos calcular o vetor v que faz com que T seja uma transformação linear, juntando v β com os vetores da base β :

T v = x 1,0 , - 1 + 3 x + y 2 0,1 , 2 + - x - y 2 1,2 , 0

T v = x + - x - y 2 , 3 x + y 2 + 2 - x - y 2 , - x + 2 3 x + y 2

T v = x - y 2 , x - y 2 , 2 x + y

Passo 4

Para resolver o item b) vamos ter que achar S β α sendo que S x , y = 2 y , x - y , x , ou seja, conhecemos a transformação e queremos encontrar a matriz.

Vamos primeiro aplicar a transformação nos vetores da base α , então:

S ( 1 , - 1 ) = 2 - 1 , 1 - - 1 , 1

S ( 1 , - 1 ) = - 2 ,   2 ,   1

E:

S 0,2 = 2 2 , 0 - 2 , 0

S ( 0,2 ) = 4 , - 2 ,   0

Encontrando assim dois vetores - 2 ,   2 ,   1   e   4 ,   - 2 ,   0 .  

Passo 5

Agora utilizando primeiro o vetor ( - 2 ,   2 ,   1 ) vamos aplica-lo na base β :

- 2,2 , 1 = a 1,0 , - 1 + b 0,1 , 2 + c 1,2 , 0

- 2,2 , 1 = a + c , b + 2 c , - a + 2 b

Temos que descobrir os valores de a ,   b   e   c , e tiramos as seguintes equações da expressão a cima:

a + c = - 2         ( 1 )

b + 2 c = 2         ( 2 )

- a + 2 b = 1           ( 3 )

Vamos fazer algumas análises. Pela expressão (3) podemos escrever:

a = 2 b - 1

Substituindo na equação (1):

2 b - 1 + c = - 2

Pela equação (2) sabemos que:

b = 2 - 2 c

Então:

2 2 - 2 c - 1 + c = - 2

Dessa forma descobrimos c :

- 3 c = - 5

c = 5 3

E descobrimos a pela equação (1):

a = - 2 - c

a = - 2 - 5 3

a = - 11 3

E descobrimos b pela equação (2):

b = 2 - 2 c

b = 2 - 2 5 3

b = - 4 3

Passo 6

Temos que repetir esse procedimento para o segundo vetor que encontramos no Passo 4:

4 , - 2,0 = d 1,0 , - 1 + e 0,1 , 2 + f 1,2 , 0

4 , - 2,0 = d + f , e + 2 f , - d + 2 e

E através das seguintes equações temos que encontrar d ,   e   e f :

d + f = 4

e + 2 f = - 2

- d + 2 e = 0

Resolvendo esse sisteminha de 3 equações e 3 incógnitas, encontramos que:

d = 20 3

e = 10 3

f = - 8 3

Passo 7

Dessa forma podemos montar a matriz S β α :

S β α = a b c       d e f

S β α = - 11 3 - 4 3 5 3       20 3 10 3 - 8 3

Que pode ser simplificada para:

S β α = - 11 - 4 5       20 10 - 8

Passo 8

Para resolver o item c, teremos que encontrar a base γ tal que:

T γ α = 1 0 0       0 0 1

Conhecemos a base α e, portanto, podemos escrever:

v α = x , y α

x , y α = a 1 , - 1 + b ( 0,2 )

x , y = a , - a + 2 b

Então temos que descobrir a   e   b . Assumindo que:

a = x

Temos que:

- a + 2 b = y

Portanto:

b = x + y 2

Então nosso vetor v na base α é:

v α = x x + y 2

Passo 9

Agora podemos encontrar v γ , processo similar ao que fizemos no Passo 2.

v γ = T β α v α

v γ = 1 0 0       0 0 1 x x + y 2

v γ = x 0 x + y 2

Dessa forma conseguimos a transformação da nossa base γ :

T v = x 1,0 , 0 + 0 0,1 , 0 + x + y 2 0,0 , 1

T v = x , 0 , x + y 2

Podemos aplicar essa transformação na base α , e teremos:

T 1 , - 1 = 1,0 , 0

T 0,2 = 0,0 , 1

Passo 10

Repetindo o processo do Passo 5 para os vetores 1 ,   0 ,   0   e   ( 0 ,   0 ,   1 ) :

1,0 , 0 = a 1 1,0 , 0 + b 1 0,1 , 0 + c 1 0,0 , 1

0,0 , 1 = a 2 1,0 , 0 + b 2 0,1 , 0 + c 2 0,0 , 1

Vamos querer encontrar a 1 ,   b 1 ,   c 1   e   a 2 ,   b 2 ,   c 2 :

a 1 = 1

c 2 = 1

E:

b 1 = c 1 = a 2 = b 2 = 0

Portanto o que fizemos foi aplicar a transformação de base para a canônica do R 3 , e o processo foi eficaz, podemos considerar γ :

γ = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1

Resposta

a )   T v = x - y 2 , x - y 2 , 2 x + y

b )   S β α = - 11 - 4 5       20 10 - 8

c ) γ = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 0,0 , 1

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