Enunciado

  1. Determine todas as matrizes A, 2x2, diagonais (os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero) que comutam com toda matriz B, 2x2, ou sejam tais que AB = BA, para toda matriz B, 2x2.

Passo 1

Primeiramente, sabemos que A é uma matriz 2x2 diagonal, ou seja:

A = x 0 0 y

E B é uma matriz 2x2 qualquer:

B = a b c d

Passo 2

Agora, devemos descobrir quais os x e y em A que permitem que A e B comutem, ou seja AB = BA. Por multiplicação de matrizes:

A B =   x a + 0 c x b + 0 d 0 a + y c 0 b + y d

Reescrevendo:

A B =   a x b x c y d y

E a outra multiplicação (BA) pode ser descrita por:

B A =   a x + b 0 a 0 + b y c x + d 0 c 0 + d y

Reescrevendo:

B A =   a x b y c x d y

Passo 3

Por fim, como foi dito, para que A e B comutem, AB = BA. Ou seja:

a x b x c y d y =   a x b y c x d y

Dessa relação, tiramos que bx = by e cx = cy, para todo b e todo c.

Resposta

A matriz A deve ser diagonal e ter os elementos da diagonal iguais. Assim:

A =   x 0 0 x   , para todo x.

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