Enunciado

Determine os valores de a   com os quais o sistema x + 2 y = 1 2 x + a 2 - 5 y = a - 1 o sistema

não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem uma infinidade de soluções.

Passo 1

Para determinarmos uma condição para um sistema, devemos escrevê-lo como uma matriz ampliada a fim de achar uma relação que envolva esse parâmetro.

No caso, a matriz ampliada é:

1 2 1 2 a 2 - 5 a - 1

Passo 2

Para essas operações, utilizaremos o rótulo   L para designar a linha e o operdor:

→ L   q u e   s e r á     a l t e r a d a → O p e r a ç ã o

1 2 1 2 a 2 - 5 a - 1 → L 2 → L 2 - 2 L 1 1 2 1 0 a 2 - 9 a - 3

Passo 3

Repare que conseguimos isolar o parâmetro a na última linha. Agora, vamos testar as condições para que o sistema tenha uma, nenhuma ou infinitas soluções.

Testaremos o valor de a para zerar o lado esquerdo da equação a 2 - 9 y = a - 3

Assim, temos os valores 3 e - 3 .

Se a = ± 3   e a ≠ 3 o sistema não possui soluções;

Se a ≠ ± 3   o sistema possui apenas uma solução;

O sistema não pode possuir inifinitas soluções pois não há valores que satistaçam:

a 2 - 9 = a - 3 = 0 ∴ a = 3

Resposta

Se a = ± 3   e a ≠ 3 o sistema não possui soluções;

Se a ≠ ± 3   o sistema possui apenas uma solução;

Se a = 3 , o sistema possui infinitas soluções

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