Enunciado

Diagonalize cada matriz dada A por meio de uma matriz ortogonal, ou seja, ache uma matriz ortogonal P tal que P t A P seja diagonal.

d) 0 0 0 0 2 2 0 2 2

Passo 1

Vamos para mais uma questão!!

Primeiro, vamos montar uma nova matriz (A –xI):

A - x I =   - x 0 0 0 2 - x 2 0 2 2 - x

Calculando o determinante da nossa nova matriz:

det ⁡ - x 0 0 0 2 - x 2 0 2 2 - x

det = (2-x)(2-x)(-x)+4x

det = - x 3 +4 x 2

Igualando a zero e resolvendo:

- x 3 +4 x 2 =   0

x = 0

x = 4

Passo 2

Substituindo x = 0 na matriz ( A - x I ):

0 0 0 0 2 2 0 2 2

Escalonando:

0 1 1 0 0 0 0 0 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = a - b b

Assim, temos

a(1, 0, 0) + b(0, -1, 1)

Substituindo x = 4 na matriz ( A - x I ):

- 4 0 0 0 - 2 2 0 2 - 2

Escalonando:

1 0 0 0 1 - 1 0 0 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = 0 a a

Assim, temos

a(0, 1, 1)

Passo 3

Com base nos vetores encontrados, podemos achar as bases ortonormais:

W 1 = 1,0 , 0   e   W 2 = ( 0 ,   - 1 2 , 1 2 )

W 3 = 0 ,   1 2 , 1 2

Assim, a matriz ortogonal é tal que:

P =   1 0 0 0 - 1 2 1 2 0 1 2 1 2 , que gera D =   0 0 0 0 0 0 0 0 4

Resposta

P =   1 0 0 0 - 1 2 1 2 0 1 2 1 2

D =   0 0 0 0 0 0 0 0 4

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