Enunciado

Diagonalize cada matriz dada A por meio de uma matriz ortogonal, ou seja, ache uma matriz ortogonal P tal que P t A P seja diagonal.

e) 1 1 0 1 1 0 0 0 1

Passo 1

Primeiro, vamos montar uma nova matriz (A –xI):

A - x I =   1 - x 1 0 1 1 - x 0 0 0 1 - x

Calculando o determinante da nossa nova matriz:

det ⁡ 1 - x 1 0 1 1 - x 0 0 0 1 - x

det = 1 - x 1 - x 1 - x - ( 1 - x )

det =   1 - x 3 - ( 1 - x )

Igualando a zero e resolvendo:

  1 - x 3 - ( 1 - x ) =   0

x = 0

x = 1

x = 2

Passo 2

Substituindo x = 0 na matriz ( A - x I ):

1 1 0 1 1 0 0 0 1

Escalonando:

1 1 0 0 0 1 0 0 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = - a a 0

Assim, temos

a(-1, 1, 0)

Substituindo x = 1 na matriz ( A - x I ):

0 1 0 1 0 0 0 0 0

Escalonando:

1 0 0 0 1 0 0 0 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = 0 0 - a

Assim, temos

a(0, 0, -1)

Substituindo x = 2 na matriz ( A - x I ):

- 1 1 0 1 - 1 0 0 0 - 1

Escalonando:

1 - 1 0 0 0 1 0 0 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = a a 0

Assim, temos

a(1, 1, 0)

Passo 3

Com base nos vetores encontrados, podemos achar as bases ortonormais:

W 1 = - 1 2 ,   1 2 , 0

W 2 = 0 ,   0 , 1

W 3 = 1 2 ,   1 2 , 0

Assim, a matriz ortogonal é tal que:

P =   - 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 0 1 0 , que gera D =   0 0 0 0 1 0 0 0 2

Resposta

P =   - 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 0 1 0

D =   0 0 0 0 1 0 0 0 2

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