Enunciado

Diz-se que duas circunferências se cortam ortogonalmente quando, em cada ponto da sua interseção, as tangentes respectivas são perpendiculares. Isto ocorre se, e somente se, o quadrado da distância entre seus centros é igual à soma dos quadrados dos seus raios (por quê?). A partir daí, mostre que as duas circunferências

x 2 + y 2 - 4 x + 5 y - 2 = 0

2 x 2 + 2 y 2 + 4 x - 6 y - 19 = 0

cortam-se ortogonalmente.

Passo 1

Olááá, tudo bem?

Nessa questão vamos trabalhar com equação da circunferência. Para resolvermos a questão, primeiramente vamos simplificar as equações para encontrarmos o centro e raio da circunferência.

Começando pela primeira equação, vamos aplicar o método da cascatinha dividindo os coeficientes dos termos “-4x” e “5y” por “-2”

- 4 ÷ - 2 = 2 5 ÷ - 2 = - 5 2

O centro da primeira equação é C 1 2 , - 5 2 . Continuando aplicação do método, precisamos encontrar o raio da circunferência. Temos que

r = x 0 2 + y 0 2 - T i

Nós já temos esses valores, x 0 = 2 , y 0 = - 5 2 e T i = - 2 , logo

r = 2 2 + - 5 2 2 - ( - 2 )

= 4 + 25 4 + 2

= 16 + 25 + 8 4

= 49 4

Logo,

r = 7 2

Passo 2

Agora vamos repetir esses passos para a segunda equação. Vamos simplifica-la dividindo todos os termos por 2

x 2 + y 2 + 2 x - 3 y - 19 2 = 0

Agora vamos aplicar o método da cascatinha dividindo os coeficientes dos termos “2x” e “-3y” por “-2”

2 ÷ - 2 = - 1 - 3 ÷ - 2 = 3 2

O centro da primeira equação é C 2 - 1 , 3 2 . Continuando aplicação do método, precisamos encontrar o raio da circunferência. Temos que

r = x 0 2 + y 0 2 - T i

Nós já temos esses valores, x 0 = - 1 , y 0 = 3 2 e T i = - 19 2 , logo

r = ( - 1 ) 2 + 3 2 2 - - 19 2

= 1 + 3 4 + 19 2

= 4 + 9 + 38 4

= 51 4

Logo,

r = 51 2

Passo 3

Agora que temos todos os valores do centro e do raio, vamos verificar se as tangentes são perpendiculares. Para que seja verdade, os raios das circunferências devem apresentar um ângulo de 90° no ponto de interseção. Basicamente, vamos aplicar o teorema de Pitágoras { a 2 + b 2 = c 2 } .

Como não temos o valor do terceiro lado, vamos encontrar o seu valor calculando o

C 2 C 1 - = 2 - - 1 2 + - 5 2 - 3 2 2

= 3 2 + - 4 2

= 9 + 16

= 25

= 5

Passo 4

Tendo em mãos todos os valores, vamos aplicar o teorema de Pitágoras. Os lados que formam o ângulo de 90° são dos raios, logo o valor encontrado no Passo 3 é a hipotenusa.

a 2 + b 2 = c 2

7 2 2 + 51 2 2 = 5 2

49 4 + 51 4 = 25

100 4 = 25

25 = 25

Portanto, provamos que as duas circunferências se cortam ortogonalmente.

Até a próxima!! =]

Resposta

N o s   p a s s o s   a n t e r i o r e s

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