Enunciado

Encontrar uma equação da parábola e suas interseções com os eixos coordenados, sendo dados:

  1. Foco: F 0 , - 1 , eixo: x = 0 e passa por A ( 4,2 )

Passo 1

E aí, tudo joia?

Bom, se o eixo é x = 0 , o vértice é da forma ( 0 , y v ) , então nossa parábola é da forma:

x - 0 2 = 2 p y - y v

x 2 = 2 p y - y v

E também a reta diretriz será da forma y = k .

Passo 2

Bom, a distância do ponto A ao foco é a mesma distância do ponto A até a diretriz.

Vamos calcular a distância de A   a   F então:

d A , F = 4 - 0 2 + 2 + 1 2 = 16 + 9 = 25 = 5

Calculando agora a distância entre A   e   y = k temos:

2 1 - k 1 = 5

2 - k = 5

Vamos considerar o módulo positivo:

2 - k = 5

- k = 3

k = - 3

Passo 3

A diretriz então é y = - 3 , e daí, p = 2 , já que é a distância do foco à diretriz.

O vértice então, que tá ali no meio, é V ( 0 , - 2 ) .

Agora montamos a equação:

x 2 = 2 ⋅ 2 ( y + 2 )

x 2 = 4 ( y + 2 )

x 2 = 4 y + 8

x 2 - 4 y - 8 = 0

Prontinho! Equação calculada!

Passo 4

Agora pra calcular as interseções com os eixos, vamos fazer x = 0 e y = 0 :

  • Eixo x: y = 0 →   x 2 - 8 = 0 → x 2 = 8 → x = ± 8 → x = ±   2 2
  • As interseções aqui são os pontos ( ± 2 2 ,   0 ) .

  • Eixo y: x = 0 →   - 4 y - 8 = 0 → - 4 y = 8 → y = - 2

A interseção aqui então é ( 0 , - 2 ) .

E pronto! Encerramos por aqui!

Resposta

x 2 - 4 y - 8 = 0

± 2 2 ,   0 ,   ( 0 , - 2 )

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Em cada um dos problemas 1 a 18, estabelecer a equação de cada uma das parábolas, sabendo que:4) vértice: V ( 0 ,0 ) ; foco: F ( - 3 ,0 )
Em cada um dos problemas 19 a 34, determinar o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.30)y = x 2 - 4 x + 2
Em cada um dos problemas 19 a 34, determinar o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.29)y 2 - 12 x - 12 = 0
Em cada um dos problemas 19 a 34, determinar o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.32)y = 4 x - x 2
Em cada um dos problemas 19 a 34, determinar o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.34)6 y = x 2 - 8 x + 14