Enunciado

1. Encontrar a solução geral de cada um das equações diferenciais:

a) y ' ' + y ' - 2 y = 0

b) 8 y ' ' + 14 y ' - 15 y = 0

c) y ' ' + 4 y = 0

d) 2 y ' ' - 5 3 y ' + 6 y = 0

e) 3 y ' ' - 5 y ' + 2 y = 0

f) y ' ' - 2 y ' = 0

g) y ' ' - 2 y ' + y = 0

h) 9 y ' ' - 12 y ' + 4 y = 0

Passo 1

e) Primeiro vamos vamos ter que deixar o que vem antes do y ' ' igual a 1...

3 3 y ' ' - 5 3 y ' + 2 3 y = 0 3

y ' ' - 5 3 y ' + 2 3 y = 0

E agora vamos achar as raízes do polinômio característico:

x 2 - 5 3 x + 2 3 = 0

Fazemos bhaskara, nee, então:

x 1 = 2 3

x 2 = 1

Passo 2

Como temos duas raízes reais e distintas, então a solução geral vai ser:

k 1 e x 1 t + k 2 e x 2 t

k 1 e 2 3 t + k 2 e t

Resposta

k 1 e 2 3 t + k 2 e t

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Em cada um dos problemas de 9 a 16, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t aumenta. y ' ' + 5 y ' + 3 y = 0 , y 0 = 1 ,
Em cada um dos problemas 23 e 24, determine os valores de α , se existirem, para os quais todas as soluções tendem a zero quando t → ∞ ; determine, também, os valores de α , se existirem, para os quai