Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 8, encontre a solução geral da equação diferencial dada.

y ' ' + 2 ⋅ y ' - 3 ⋅ y = 0

Passo 1

Para resolvermos esse problema iremos analisar cada tipo de EDO e escolher o melhor método para resolvermos a mesma. Após isso, vamos aplicar esse método nos atentando com os casos complicados que podem aparecer. Vamos juntos!!

Passo 2

Bom, como para esse capítulo vamos apenas cair no caso onde a nossa equação característica é dada por r 1 ≠ r 2 , temos que haverá duas soluções para nossa equação. Supondo então que nossa solução é dada por y = e r ⋅ t , temos que nossa solução geral será

y = c 1 ⋅ e r 1 ⋅ t + c 2 ⋅ e r 2 ⋅ t

Ficando com y ' = r ⋅ e r ⋅ t e y ' ' = r 2 ⋅ e r ⋅ t . Substituindo em nossa EDO, temos que

r 2 + 2 ⋅ r - 3 ⋅ e r ⋅ t = 0

r 2 + 2 ⋅ r - 3 = 0

Caimos em uma equação de segundo grau. Resolvendo pelo método de Bhaskara, chegamos que

r = - b ± b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c 2 ⋅ a = - 2 ± 16 2

Tendo como raízes r 1 = 1 e r 2 = - 3 . Assim, temos que nossa solução geral para a EDO dada é

y = c 1 ⋅ e t + c 2 ⋅ e - 3 t

Resposta

y = c 1 ⋅ e t + c 2 ⋅ e - 3 t

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Faça o gráfico das duas soluções básicas da equação diferencial e de várias outras soluções. Que aspecto as soluções têm em comum? 9 d 2 y d x 2 + 6 d y d x + y = 0
Resolva o problema de contorno, se possível. y ' ' + 2 y ' = 0 ,y 0 = 1 ,y 1 = 2
Resolva o problema de contorno, se possível. y ' ' + 100 y = 0 ,y 0 = 2 ,y π = 5
Resolva o problema de contorno, se possível. y ' ' - 3 y ' + 2 y = 0 ,y 0 = 1 ,y 3 = 0
Resolva o problema de contorno, se possível. 9 y ' ' - 18 y ' + 10 y = 0 ,y 0 = 0 ,y π = 1