Enunciado

Encontre a decomposição LU da matriz de coeficientes e, depois, use o método do Exemplo 1 para resolver o sistema.

  - 3 12 - 6 1 - 2 2 0 1 1 x 1 x 2 x 3 = - 33 7 - 1

Passo 1

Vamos lembrar que a fatoração LU possui duas matrizes:

- L: é uma matriz triangular inferior e possui a diagonal principal com o número 1

- U: é uma matriz triangular superior

Tá, mais ainda não conseguiu enxergar? Se lembre o que o triângulo são os números, e não o zero! Vejamos um exemplo:

L = 1 0 0 x 21 1 0 x 31 x 32 1           e             U = x 11 x 12 x 13 0 x 22 x 23 0 0 x 33

Lembrando que x 11 ,   x 12 ,   x 13   x 21 ,   x 22 ,   x 23 ,   x 31 ,   x 32   e   x 33 podem ser quaisquer números!

Maaaas, você reparou que as matrizes estão diferentes da LU?

É isso que o exercício quer! Ele quer como no exemplo e como como a fatoração LU!

Passo 2

Nossa sistema é:

  - 3 12 - 6 1 - 2 2 0 1 1 x 1 x 2 x 3 = - 33 7 - 1

Só que a fim de facilitar as contas, podemos simplificar a primeira linha por 3, lembrando que o resultado também deve ser levado em conta!

  - 1 4 - 2 1 - 2 2 0 1 1 x 1 x 2 x 3 = - 11 7 - 1

A matriz que vamos decompor em LU é

  - 1 4 - 2 1 - 2 2 0 1 1

Agora vamos fazer um escalonamento, e percebemos que temos de zerar onde está os número 1.

Passo 3

O nosso pivô será o -1 da primeira linha, e temos que zerar com o 1, então vamos pegar seu oposto (-1).

- 1 α = - 1 →   α = 1

Então multiplicaremos a primeira linha pelo valor que encontramos pela segunda linha

  - 1 4 - 2 1 - 2 2 0 1 1 × 1

Maas quando for passar a matriz, a linha que estamos multiplicando sempre copiamos! Assim como na primeira linha e na primeira coluna está o -1, multiplicamos por α = 1 e somamos com o valor da segunda linha e da mesma coluna, e repetimos o passo:

  - 1 4 - 2 1 × - 1 + 1 4 × 1 - 2 - 2 × 1 + 2 0 1 1 ∼ - 1 4 - 2 0 2 0 0 1 1  

E com 2 como pivô e o oposto de 1

2 γ = - 1           →     γ = - 1 2

Assim

  - 1 4 - 2 0 2 0 0 1 1 - 1 2

  - 1 4 - 2 0 2 0 0 2 × - 1 2 + 1 0 × - 1 2 + 1 ∼   - 1 4 - 2 0 2 0 0 0 1

Assim temos a matriz U

Passo 4

Agora, para a gente montar a matriz L, temos que lembrar como ela é:

L = 1 0 0 x 21 1 0 x 31 x 32 1          

Assim, entramos em outro sistema de equações:

1 0 0 x 21 1 0 x 31 x 32 1   - 1 4 - 2 0 2 0 0 0 1 =     - 1 4 - 2 1 - 2 2 0 1 1

Logo

- x 21 = 1 → x 21 = - 1

- x 31 =   0

4 x 31 + 2 x 32 = 1 → x 32 = 1 2

Substituímos o x 21 pelo oposto do multiplicador da primeira para a segunda linha, ou seja, -1.

E o mesmo raciocínio vale para x 31   e x 32 .

L = 1 0 0 - 1 1 0 0 1 2 1          

Passo 5

Vamos fazer o método no qual está escrito no exemplo do exercício, começando com o escalonamento. A diferença que normalmente fazemos e escalonamento por “baixo”, dessa vez faremos por “cima”, e o multiplicador será:

  - 1 4 - 2 1 - 2 2 0 1 1

1 α = 2 → α = 2

1 β = - 2 → β = - 2

Logo, como 1 será o pivô, multiplicaremos por 2 da terceira para a primeira linha e por - 2   da terceira para a segunda linha

  - 1 6 0 1 - 4 0 0 1 1

- 4 γ = - 6 → γ = 3 2

Ficando assim

  1 2 0 0 1 - 4 0 0 1 1

Passo 6

Agora a segunda matriz terá esse formato:

1 x 12 x 13 0 1 x 23 0 0 1

Colocando as incógnitas em um sistema, teremos

  - 1 4 - 2 1 - 2 2 0 1 1 =     1 2 0 0 1 - 4 0 0 1 1     1 x 12 x 13 0 1 x 23 0 0 1

Mas se você perceber que

- 1 2 + 4 ≠ 1

Ou seja, não é possível resolver as matrizes dessa forma.

Passo 7

Finalmente resolvendo o sistema

1 0 0 - 1 1 0 0 1 2 1     - 1 4 - 2 0 2 0 0 0 1 =   - 1 4 - 2 1 - 2 2 0 1 1

Assim

  - 1 4 - 2 1 - 2 2 0 1 1 x 1 x 2 x 3 = - 11 7 - 1

- 1 4 - 2 | - 11 1 - 2 2 |                 7 0 1 1 |       - 1

Simplificando as linhas das matrizes temos

- 1 4 - 2 | - 11 1 - 2 2 |                 7 0 1 1 |       - 1 ∼   - 1 4 - 2 | - 11 0 1 0 |       - 2 0 1 1 |       - 1 ∼ 1 0 2 |           3 0 1 0 | - 2 0 0 1 |           1 ∼

- 1 0 0 |                 1 0 1 0 |       - 2 0 0 1 |                   1

Resposta

x 1 = 1

x 2 = - 2

x 3 =   1

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