Enunciado

Encontre a decomposição LU da matriz de coeficientes e, depois, use o método do Exemplo 1 para resolver o sistema.

2 - 4 0 0 1 2 1 2 0 0 - 1 - 4 - 5 0 0 2 11 x 1 x 2 x 3 x 4 = 8 0 1 0

Passo 1

Vamos lembrar que a fatoração LU possui duas matrizes:

- L: é uma matriz triangular inferior e possui a diagonal principal com o número 1

- U: é uma matriz triangular superior

Tá, mais ainda não conseguiu enxergar? Se lembre o que o triângulo são os números, e não o zero! Vejamos um exemplo:

L = 1 0 0 0 x 21 1 0 0 x 31 x 32 1 0 x 41 x 42 x 43 1         e             U = x 11 x 12 x 13 x 14 0 x 22 x 23 x 24 0 0 x 33 x 34 0 0 0 x 44

Lembrando que x 11 ,   x 12 ,   x 13 ,   x 14 x 21 ,   x 22 ,   x 23 , x 24 ,   x 31 ,   x 32   e   x 33 ,   x 34 ,   x 41 , x 42 ,   x 43 ,   x 44 podem ser quaisquer números!

Maaaas, você reparou que as matrizes estão diferentes da LU?

É isso que o exercício quer! Ele quer como no exemplo e como como a fatoração LU!

Passo 2

A matriz que vamos decompor em LU é

2 - 4 0 0 1 2 12 0 0 - 1 - 4 - 5 0 0 2 11

Agora vamos fazer um escalonamento, e percebemos que temos de zerar 2, -1 e 1.

Passo 3

O nosso pivô será o 2 da primeira linha, e temos que zerar com o 1, então vamos pegar seu oposto (-1)

2 α = - 1 →   α = - 1 2

Então multiplicaremos a primeira linha pelo valor que encontramos pela segunda linha

2 - 4 0 0 1 2 12 0 0 - 1 - 4 - 5 0 0 2 11 - 1 2   ∼ 2 - 4 0 0 0 4 12 0 0 - 1 - 4 - 5 0 0 2 11

Agora, zerar o -1 com 4 de pivô

4 β = - 1 → β =   - 1 4

Ficando

2 - 4 0 0 0 4 12 0 0 - 1 - 4 - 5 0 0 2 11 1 4   ∼   2 - 4 0 0 0 4 12 0 0 0 - 1 - 5 0 0 2 11

E para 2

- 7 γ = - 2 → γ = 2 7  

2 - 4 0 0 0 4 12 0 0 0 - 1 - 5 0 0 2 11   2 7 ∼   2 - 4 0 0 0 4 12 0 0 0 - 7 - 5 0 0 0 1

Então

U =   2 - 4 0 0 0 4 12 0 0 0 - 1 - 5 0 0 0 1

Passo 4

Agora, para a gente montar a matriz L, temos que lembrar como ela é:

L = 1 0 0 0 x 21 1 0 0 x 31 x 32 1 0 x 41 x 42 x 43 1

Assim, entramos em outro sistema de equações:

1 0 0 0 x 21 1 0 0 x 31 x 32 1 0 x 41 x 42 x 43 1 2 - 4 0 0 0 4 12 0 0 0 - 1 - 5 0 0 0 67 7 =     2 - 4 0 0 1 2 12 0 0 - 1 - 4 - 5 0 0 2 11

Logo

2 x 21 = 1 → x 21 = 1 2

2 x 3 1 = 0 → x 31 = 0

2 x 41 = 0 → x 41 = 0

- 4 x 31 + 4 x 32 = - 1 → x 32 = - 1 4

- 4 x 41 + 4 x 42 = 0 → x 42 = 0

12 x 42 - x 43 = 2 → x 43 = - 2

Substituímos os valores encontrados:

L = 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 - 1 4 1 0 0 0 - 2 1

Passo 5

Vamos fazer o método no qual está escrito no exemplo do exercício, começando com o escalonamento. A diferença que normalmente fazemos e escalonamento por “baixo”, dessa vez faremos por “cima”, e o multiplicador será:

2 - 4 0 0 1 2 12 0 0 - 1 - 4 - 5 0 0 2 11

11 α = 5 → α = 5 11

Então

2 - 4 0 0 1 2 12 0 0 - 1 - 4 0 0 0 2 11

Agora

2 β = - 1 2 → β = - 6

2 - 4 0 0 1 2 0 0 0 - 1 - 4 0 0 0 2 11

E

2 γ = 4 → γ = 2

4 0 0 0 2 3 0 0 0 - 1 2 0 0 0 1 5

Passo 6

Agora a segunda matriz terá esse formato:

1 x 12 x 13 x 14 0 1 x 23 x 24 0 0 1 x 34 0 0 0 1

Colocando as incógnitas em um sistema, teremos

2 - 4 0 0 1 2 12 0 0 - 1 - 4 - 5 0 0 2 11 = 4 0 0 0 2 3 0 0 0 - 1 2 0 0 0 1 5   1 x 12 x 13 x 14 0 1 x 23 x 24 0 0 1 x 34 0 0 0 1

Mas se você perceber que

4 ≠ 2

Não é possível resolver as matrizes dessa forma.

Passo 7

Finalmente resolvendo o sistema

1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 - 1 4 1 0 0 0 - 2 1 2 - 4 0 0 0 4 12 0 0 0 - 1 - 5 0 0 0 1 = 2 - 4 0 0 1 2 12 0 0 - 1 - 4 - 5 0 0 2 11

Assim

2 - 4 0 0 1 2 12 0 0 - 1 - 4 - 5 0 0 2 11 x 1 x 2 x 3 x 4 = 8 0 1 0

2 - 4 0 0 |   8 1 2 1 2 0 |   0 0 - 1 - 4 - 5 |   1 0 0 2 11 |   0

Simplificando as linhas das matrizes temos

1 0 0 0 |           2 0 1 0 0 | - 1 0 0 1 0 |           0 0 0 0 1 |           0

Resposta

x 1 = 2

x 2 = - 1

x 3 =   0

x 4 = 0

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