Enunciado

Encontre a equação da hipérbole com focos em ( 0 ,   - 3 ) e ( 0 ,   5 ) e um vértice em ( 0 ,   1 + 10 ) .

Passo 1

Pessoal, se a gente tem os focos já conseguimos encontrar duas coisas: o centro e a distância focal. Então bora! Primeira coisa é que o centro fica no ponto médio dos focos.

C = F 1 + F 2 2 = 0 ,   - 3 + 0 ,   5 2

C = ( 0 ,   1 )

A distância entre esses dois pontos é igual a 2 c :

2 c = 0 - 0 2 + 5 - ( - 3 ) 2

2 c = 8

Portanto,

c = 4

Passo 2

Agora se liga no seguinte: a distância do centro ao vértice é igual ao semi eixo da direção que liga os focos. No nosso caso, estamos falando do vertical, já que os focos estão no eixo y . Por isso,

a = d C , V

a = 0 - 0 2 + 1 + 10 - 1 2

a = 10

Aí a gente pega a relação fundamental para encontrar o outro semieixo:

c 2 = a 2 + b 2

4 2 = 10 2 + b 2

b 2 = 6

E assim,

b = 6

Passo 3

Como os focos estão no eixo y , é ele quem vai estar positivo na conta! Vamos substituir tudo que achamos na equação da hipérbole.

y - 1 2 10 2 - x - 0 2 6 2 = 1

y - 1 2 10 - x 2 6 = 1

Resposta

y - 1 2 10 - x 2 6 = 1

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