Enunciado

Encontre a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes de A = (1, −1, 2) e B = (4, 3, 1). Este plano passa pelo ponto médio de AB? Ele é perpendicular ao segmento AB?

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

Como queremos o ponto que está a uma mesma distância de A   e   B , vamos utilizar a fórmula da distância entre pontos. Vamos considerar um ponto genérico como x , y , z :

d ( x , y , z ) ,   A = d ( ( x , y , z ) ,   B )

Bora lá então:

d P r ,   A = x - 1 2 + y + 1 2 + z - 2 2 = x 2 - 2 x + 6 + y 2 + 2 y + z 2 - 4 z

d P r ,   B = x - 4 2 + y - 3 2 + z - 1 2 = x 2 - 8 x + 26 + y 2 - 6 y + z 2 - 2 z

Passo 2

Agora a gente iguala essas distâncias...

x 2 - 2 x + 6 + y 2 + 2 y + z 2 - 4 z =   x 2 - 8 x + 26 + y 2 - 6 y + z 2 - 2 z

x 2 - 2 x + 6 + y 2 + 2 y + z 2 - 4 z = x 2 - 8 x + 26 + y 2 - 6 y + z 2 - 2 z  

- 2 x + 8 x + 2 y + 6 y - 4 z + 2 z + 6 - 26 = 0

6 x + 8 y - 2 z - 20 = 0

O lugar geométrico então é esse plano aí!

Passo 3

O ponto médio de A B é:

( 5 ,   2,3 ) 2

Vamos ver se esse ponto satisfaz a equação do plano:

6 5 2 + 8 1 - 2 3 2 - 20 = 0

0 = 0

Como satisfez, então o plano passa pelo ponto médio de AB.

Passo 4

Para ser perpendicular, o vetor normal do plano tem que ser paralelo ao vetor A B → ..

A B → = ( 3,4 , - 1 )

E o vetor normal ao plano é:

( 6,8 , - 2 )

Os vetores são múltiplos, então são paralelos. Sendo assim, o plano é perpendicular a AB.

Resposta

6 x + 8 y - 2 z - 20 = 0

Sim.

Sim.

Exercícios de Livros Relacionados

Fixado a quais devem ser os dois valores de b para os quais a reta y = a x + b , de inclinação a, seja tangente à circunferência de centro O e raio r ?
Sejam P = (4,1,-1) e r: (x,y,z) = (2+t, 4-t, 1+2t).Mostre que P Ɇ r
Determine a projeção ortogonal do ponto P= ( 2 , - 1,3 ) sobre a reta x 3= y + 7 5 = z - 2 2 .
A reta r passa por A=( - 1,2 , 0 ) e B=( 2,1 , 3 ) . A reta s é dada por. x + 3 3=y - 6 - 1=z + 3 3 . Ache os pontos C e D de s tais que A , B , C e D , nessa ordem, formem um retângulo. Calcule a áre
Determine a distância do ponto P=( 6 , - 4,4 ) à reta determinada pelos pontos A=( 2,1 , 2 ) e B=( 3 , - 1,4 ) .