Enunciado

Encontre a expressão da transformação linear T :   R 3 → R 3 que é uma rotação de π 3 em torno da reta que passa pela origem e tem a direção do vetor ( 1 ,   1 ,   0 ) .

Passo 1

Estamos procurando uma transformação T que por uma rotação leve um ( x ,   y ,   z ) no vetor ( a ,   b , c ) . Pra achar o que a gente quer, vamos usar três paradas, umas propriedades geométricas. Primeiro: o vetor, depois que for rodado, mantém o seu módulo. Segundo: O ângulo entre o vetor original e o eixo é igual ao ângulo entre o vetor rodado e o eixo. Terceiro: O ângulo entre o vetor original e o rodado é de 60 ° , ou π 3 pros mais íntimos hahahah. Seguinte, se a transformação é linear, concorda comigo que a gente pode calcular o que ela dá pros vetores da base canônica, { 1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   1 } , e depois passar pra um ( x ,   y ,   z ) qualquer? Claro que você concorda! Bora lá então! Pra rodar, eu vou pegar o sentido horário a partir da origem como positivo.

Passo 2

Primeiro vamos mexer com o vetor u = ( 1 ,   0 ,   0 ) . O vetor ( a ,   b ,   c ) que vai ser ele rodado tem o mesmo módulo que ele, então:

a 2 + b 2 + c 2 = 1

Beleza, agora a parada do ângulo. Se eles são iguais, podemos igualar os cossenos, porque sabemos aquela fórmula. Vamos fazer isso então. Do lado esquerdo, o cosseno do ângulo entre o rodado e o eixo, e do lado esquerdo, o cosseno do ângulo entre o original e o eixo.

a ,   b ,   c ⋅ 1 ,   1 ,   0 a 2 + b 2 + c 2 × 2 = 1 ,   0 ,   0 ⋅ 1 ,   1 ,   0 1 × 2

Resolvendo o produto escalar e substituindo o valor de a 2 + b 2 + c 2 , depois cortando o que tem que cortar:

a + b = 1

Agora o ângulo entre o rodado e o original, que é de 60 ° : vamos mexer com o cosseno de novo.

a ,   b ,   c ⋅ 1 ,   0 ,   0 a 2 + b 2 + c 2 × 1 = cos ⁡ π 3 = 1 2

a = 1 2

Substituindo, b = 1 2 , e botando lá na primeira equação,

1 4 + 1 4 + c 2 = 1 → c = 2 2

Passo 3

Beleza, vamos fazer igualzinho pro vetor ( 0 ,   1 ,   0 ) , mas indo mais resumidamente. As mesmas propriedades vão valer! Pro módulo:

a 2 + b 2 + c 2 = 1

O ângulo entre os vetores e o eixo são iguais:

a ,   b ,   c ⋅ 1 ,   1 ,   0 a 2 + b 2 + c 2 × 2 = 0 ,   1 ,   0 ⋅ 1 ,   1 ,   0 1 × 2

a + b = 1

E o ângulo entre os vetores é π 3 :

a ,   b ,   c ⋅ 0 ,   1 ,   0 a 2 + b 2 + c 2 × 1 = cos ⁡ π 3 = 1 2

b = 1 2

Substituindo, a = 1 2 , e botando lá na primeira equação,

1 4 + 1 4 + c 2 = 1 → c = - 2 2

Esse fica negativo porque, quando rodar os 60 ° , ele vai passar pra parte de baixo do eixo z , saca?

Passo 4

Agora pro terceiro e último, ( 0 ,   0 ,   1 ) , vai ficar assim:

Pro módulo:

a 2 + b 2 + c 2 = 1

O ângulo entre os vetores e o eixo são iguais:

a ,   b ,   c ⋅ 1 ,   1 ,   0 a 2 + b 2 + c 2 × 2 = 0 ,   0 ,   1 ⋅ 1 ,   1 ,   0 1 × 2

a + b = 0

E o ângulo entre os vetores é π 3 :

a ,   b ,   c ⋅ 0 ,   0 ,   1 a 2 + b 2 + c 2 × 1 = cos ⁡ π 3 = 1 2

c = 1 2

Botando isso lá na primeira equação, e usando que b = - a :

a 2 + - a 2 + 1 4 = 1

2 a 2 = 3 4

a = 6 4

E assim, b = - 6 4 .

Passo 5

Show de bola, já temos a transformação para os vetores da base canônica! Agora vamos aproveitar o fato de que ela é linear:

T 1 ,   0 ,   0 = 1 2 , 1 2 , 2 2 → T x ,   0 ,   0 = x 2 , x 2 , x 2 2

T 0 ,   1 ,   0 = 1 2 , 1 2 , 2 2 → T 0 ,   y ,   0 = y 2 , y 2 , - y 2 2

T 0 ,   0 ,   1 = 6 4 , - 6 4 , 1 2 → T 0 ,   0 ,   z = z 6 4 ,   - z 6 4 , z 2  

Somando as três:

T x ,   y ,   z = x 2 + y 2 + z 6 4 , x 2 + y 2 - z 6 4 , x 2 2 - y 2 2 + z 2

Resposta

T x ,   y ,   z = x 2 + y 2 + z 6 4 , x 2 + y 2 - z 6 4 , x 2 2 - y 2 2 + z 2

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