Enunciado

24 (a) Encontre um sistema linear homogêneo de duas equações em três incógnitas cujo espaço de soluções consista em todos os vetores em R 3 ortogonais a a=(-3,2,-1) e b=(0,-2,-2).

(b) O espaço das soluções é que tipo de objeto geométrico?

(c) Encontre uma solução geral do sistema obtido na parte (a) e confirme a validade do Teorema 3.4.3.

Passo 1

a)

Um sistema linear homogêneo de duas equções em três incógnitas é da forma:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = 0

Podemos reescrever o sistema, como um produto escalar, dessa forma:

r 1 ⋅ x = 0 r 2 ⋅ x = 0

Concluimos disso que os vetores soluções x são ortogonais as vetores r 1 e r 2 , ou seja, só precisamos definir esses vetores como sendo os dados no enunciado.

r 1 = a = - 3 ,   2 ,   - 1

e

r 2 = b = 0 ,   - 2 ,   - 2

Assim, os vetores a e b são ortogonais as espaço de soluções desse sistema. O sistema pode ser escrito dessa forma:

- 3 ⋅ x 1 + 2 ⋅ x 2 - 1 ⋅ x 3 = 0 0 ⋅ x 1 - 2 ⋅ x 2 - 2 ⋅ x 3 = 0

- 3 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 - 2 x 2 - 2 x 3 = 0

Passo 2

b)

Essas são equações de dois planos diferentes , ou seja, a solução desse sistema é a interseção dos dois planos.

E a interseção de dois planos é uma reta, desse forma, o espaço das soluções do sistema formam retas.

Passo 3

c)

Precismos de uma solução geral desse sistema:

- 3 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 - 2 x 2 - 2 x 3 = 0

Como temos duas equações e três incógnitas vamos precisar de uma variável livre para resolver o sistema.

Vamos definir x 3 como sendo a variável livre:

x 3 = u

E agora vamos isolar x 2 na segunda equação:

- 2 x 2 - 2 x 3 = 0

2 x 2 = - 2 x 3

x 2 = - x 3

Ou seja,

x 2 = - u

Agora, vamos substituir esses resultados na primeira equação:

- 3 x 1 + 2 - u - u = 0

- 3 x 1 - 3 u = 0

3 x 1 = - 3 u

x 1 = - u

Escrevendo na forma vetorial:

x = - u ,   - u ,   u

Esse vetor solução deve ser ortogonal aos vetores linha dos coeficientes, vamos testar:

r 1 ⋅ x = - 3 ,   2 ,   - 1 ⋅ - u ,   - u ,   u

r 1 ⋅ x = - 3 ⋅ - u + 2 ⋅ - u - 1 ⋅ u

r 1 ⋅ x = 3 u - 2 u - u

r 1 ⋅ x = 0

Para o primeiro vetor linha deu certo.

r 2 ⋅ x = 0 ,   - 2 ,   - 2 ⋅ - u ,   - u ,   u

r 2 ⋅ x = 0 ⋅ - u - 2 ⋅ - u - 2 ⋅ u

r 2 ⋅ x = 2 u - 2 u

r 2 ⋅ x = 0

E para o segundo vetor linha também deu certinho, ou seja o Teorema 3.4.3 deu certo.

Resposta

a)

- 3 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 - 2 x 2 - 2 x 3 = 0

b)

Essas são equações de dois planos diferentes , ou seja, a solução desse sistema é a interseção dos dois planos.

E a interseção de dois planos é uma reta, desse forma, o espaço das soluções do sistema formam retas.

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Considere o plano π : 3 x - 3 y + 2 z = 0 .c) Determine as coordenadas dos vetores i → , j →ek → no sistema { O , U 1 , U 2 , U 3 } .
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