Enunciado

Encontre um subconjunto com o maior número possível de vetores ortonormais no conjunto solução do sistema homogêneo

Passo 1

Oiiie, tudo certinho?

Para resolver esta questão vamos nos lembrar a definição de ortogonalidade mais simples que pode ser utilizada neste problema, ou seja:

X ⋅ Y = ∑ i = 1 3 x i y i = 0           ( 1 )

E também é necessário que | | X | | = 1 e | | Y | | = 1 , para que eles sejam normalizados. A definição de norma é dada por:

| | X | | = ∑ i = 1 3 x i 2           ( 2 )

Ou seja, nossos vetores de base devem obedecer às condições dadas acima, bora lá!

Passo 2

Primeira coisa que nós precisamos fazer é simplificar este sistema o máximo possível, portanto, vamos escalonar a matriz aumentada que representa este sistema de equações, beleza? A matriz é tal que:

No escalonamento, a primeira coisa é identificar o pivô (primeiro termo da primeira coluna), como ele já é 1, não precisamos fazer nada nele. Então de cara já podemos começar eliminando o termo que resta na coluna 1. Para isso vamos subtrair da linha 2 a primeira linha multiplicada por 2, obtendo:

Para continuar o escalonamento, devemos multiplicar a segunda linha por -1, de forma que temos:

Agora, podemos eliminar o termo que sobra na segunda coluna (não é necessário, mas simplifica). Apenas fazendo a primeira linha menos a segunda, temos:

Isso é o mais simples que podemos deixar, agora podemos identificar que nosso sistema se simplifica ao seguinte:

Vamos continuar a nossa questão agora! Belezinha?

Passo 3

Nós temos 3 parâmetros livres e apenas duas equações, portanto, vamos escolher um parâmetro qualquer como z = α . E escrever o seguinte:

( x = - 3 α , y = 4 α , α )

E portanto, temos a seguinte relação:

( - 3 α , 4 α , α )

Esta expansão pode ser expandida em termos do parâmetro da seguinte maneira:

( - 3 α , 4 α , α ) = α ( - 3,4 , 1 )

De forma que nossa base pode ser identificada como V 1 = ( - 3,4 , 1 ) , ele é L.I. já que é um único vetor não nulo, vamos apenas verificar se é normalizado, beleza?

Passo 4

Um vetor normalizado pode ser obtido fazendo:

V N   =   V | | V | |           ( 3 )

Portanto, usando a definição (2), temos:

| | V 1 | | = ( - 3 ) 2 + ( 4 ) 2 + ( 1 ) 2 = 26

e aplicando (3), temos:

V 1 N = 1 26 ( - 3,4 , 1 )

Aí está nossa base ortonormal, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

V 1 N = 1 26 ( - 3,4 , 1 )

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