Enunciado

Encontre um subconjunto com o maior número possível de vetores ortonormais no subespaço dos vetores ( a , b , c , d ) ∈ R 4 tais que a - b - 2 c + d = 0 .

Passo 1

Oiiie, tudo certinho?

Para resolver esta questão vamos nos lembrar a definição de ortogonalidade mais simples que pode ser utilizada neste problema, ou seja:

X ⋅ Y = ∑ i = 1 3 x i y i = 0           ( 1 )

E também é necessário que | | X | | = 1 e | | Y | | = 1 , para que eles sejam normalizados. A definição de norma é dada por:

| | X | | = ∑ i = 1 3 x i 2           ( 2 )

Ou seja, nossos vetores de base devem obedecer às condições dadas acima, bora lá!

Passo 2

Nós temos 4 parâmetros livres e apenas uma equação, portanto, vamos escolher parâmetros quaisquer como b = α , c = β e d = γ . E escrever o seguinte:

a - α - 2 β + γ = 0 → a = α + 2 β - γ

E portanto, temos a seguinte relação:

( α + 2 β - γ , α , β , γ )

Esta expansão pode ser expandida em termos dos parâmetros da seguinte maneira:

( α + 2 β - γ , α , β , γ ) = α ( 1,1 , 0,0 ) + β ( 2,0 , 1,0 ) + γ ( - 1,0 , 0,1 )

De forma que nossa base pode ser identificada como V 1 = ( 1,1 , 0,0 ) , V 2 = ( 2,0 , 1,0 ) e V 3 = ( - 1,0 , 0,1 ) . Agora precisamos garantir que ela é ortogonal e se todos os vetores estão normalizados! Bora lá!

Passo 3

Vamos primeiro checar se ambos se eles são ortogonais pela definição (1), temos que:

V 1 ⋅ V 2 = ( 1 ) × ( 2 ) + 1 × ( 0 ) + ( 0 ) × 1 + ( 0 ) × ( 0 ) = 2 ≠ 0

V 1 ⋅ V 3 = ( 1 ) × ( - 1 ) + 1 × ( 0 ) + ( 0 ) × ( 0 ) + ( 0 ) × ( 1 ) = - 1 ≠ 0

V 2 ⋅ V 3 = ( 2 ) × ( - 1 ) + 0 × ( 0 ) + ( 1 ) × ( 0 ) + ( 1 ) × ( 1 ) = - 2 ≠ 0

Os vetores de base não são ortogonais. E o que fazer agora? Precisamos construir uma base ortogonal, para isso vamos usar a seguinte definição:

p r o j W V = ( V ⋅ W | | W | | 2 ) W           ( 3 )

O que nos dá uma projeção ortogonal de um vetor V sobre um vetor não nulo W . Bora lá!

Passo 4

Temos que utilizar a definição (3) para construir:

W 2 = V 2 - p r o j V 1 V 2 = V 2 - ( V 2 ⋅ V 1 | | V 1 | | 2 ) V 1           ( 4 )

e subsequentemente, para achar o terceiro vetor, temos:

W 3 = V 3 - p r o j W 1 V 3 - p r o j W 2 V 3           ( 5 )

Vamos fazer isso então! Beleza?

Passo 5

Se fizermos a escolha W 1 = V 1 , e lembrando que Já calculamos V 2 ⋅ V 1 = 2 . Usando a definição (2), temos que:

| | V 1 | | = ( 1 ) 2 + ( 1 ) 2 + 0 2 + 0 2 = 2

Portanto, temos então que:

W 2 = ( 2,0 , 1,0 ) - 2 2 ( 1,1 , 0,0 )   = ( 1 , - 1,1 , 0 )         ( 6 )

E precisamos fazer também:

W 3 = V 3 - ( V 3 ⋅ V 1 | | V 1 | | 2 ) V 1 - ( V 3 ⋅ W 2 | | W 2 | | 2 ) W 2           ( 7 )

Nós já calculamos que V 3 ⋅ V 1 = - 1 . Vamos calcular o que falta, belezinha?

Passo 6

Primeiro, usando a definição (1) para calcular:

V 3 ⋅ W 2 = ( - 1 ) × ( 1 ) + ( 0 ) × ( - 1 ) + ( 0 ) × ( 1 ) + ( 1 ) × ( 0 ) = - 1

e a definição (2), para obter que:

| | W 2 | | = ( 1 ) 2 + ( - 1 ) 2 + ( 1 ) 2 + ( 0 ) 2 = 3

E desta forma, a equação (7) toma a forma:

W 3 = ( - 1,0 , 0,1 ) - ( - 1 2 ) ( 1,1 , 0,0 ) - ( - 1 3 ) ( 1 , - 1,1 , 0 ) = ( - 1 / 6,1 / 6,1 / 3,1 )

Temos então que W 1 = V 1 , W 2 = ( 1 , - 1,1 , 0 ) e W 3 = ( - 1 / 6,1 / 6,1 / 3,1 ) são bases ortogonais, agora precisamos normalizá-las, saca só!

Passo 7

Um vetor normalizado pode ser obtido fazendo:

V N   =   V | | V | |           ( 8 )

Portanto, usando | | V 1 | | = 2 como calculamos no passo anterior, temos da definição (8) e de V 1 que:

W 1 N = 1 2 ( 1,1 , 0,0 )

Fazendo o mesmo para W 2 , e utilizando que | | W 2 | | = 3 , temos:

W 2 N = 1 3 ( 1 , - 1,1 , 0 )

e utilizando (2) para calcular a normal de W 3 , temos:

| | W 3 | | = ( - 1 / 6 ) 2 + ( 1 / 6 ) 2 + ( 1 / 3 ) 2 + ( 1 ) 2 = 7 / 6

e portanto, temos:

W 3 N   = 6 7 ( - 1 / 6,1 / 6,1 / 3,1 )

Aí está nossa base ortonormal, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

W 1 N = 1 2 ( 1,1 , 0,0 ) , W 2 N = 1 3 ( 1 , - 1,1 , 0 )   e   W 3 N   = 6 7 ( - 1 / 6,1 / 6,1 / 3,1 )  

Exercícios de Livros Relacionados

Ache um vetor v → que forma ângulos iguais com ( 1,0 , 0 ) e ( 0,0 , 1 ) é ortogonal a u →=( 2 , - 2,2 ) , | v | →= 24 , sendo agudo o ângulo que v → forma com ( 0,1 , 0 ) .
Ache um vetor de norma 1, ortogonal a vec u = ( 1 , - 3,1 ) e a vec v = ( - 3,3 , 3 ) .
Determine o vetor u → sabendo que u → é combinação linear de ( 1 , - 3,0 ) e ( 0 , - 4,1 ) , u → é ortogonal a ( 0,1 , - 2 ) , | u | →=3 e u → forma um ângulo obtuso com k →= ( 0,0 , 1 ) .
Decomponha o vetor u →=( 3 , - 1,5 ) em uma soma de dois vetores a → e b → , sabendo que a → é paralelo ao vetor ( - 2 , - 4 , - 10 ) e b → é ortogonal ao vetor ( 0,0 , 1 ) .
Ache a projeção ortogonal de v →=( 1 , - 2,3 ) na direção de um eixo que forma ângulos iguais com os vetores da base ortonormal B=( i → , j → , k → ) .