Enunciado

34. Encontre todas as matrizes diagonais A de tamanho 3 x 3 que satisfazem A 2 - 3 A - 4 I = 0 .

Passo 1

Vamos supor uma matriz diagonal qualquer:

A = d 1 0 0 0 d 2 0 0 0 d 3

No comecinho da seção foi dito que para calcular a potencia de uma matriz diagonal só precisamos elevar os termos da diagonal principal por essa potência, desse jeito:

A 2 = d 1 2 0 0 0 d 2 2 0 0 0 d 3 2

Passo 2

Quando multiplicamos uma matriz por uma constante, nós só precisamos multiplicar essa constante pelos termos da matriz, vamos fazer isso para o termo 3 A , fica assim:

3 A = 3 d 1 0 0 0 3 d 2 0 0 0 3 d 3

E também para o 4 I :

4 I = 4 1 0 0 0 4 1 0 0 0 4 1

4 I = 4 0 0 0 4 0 0 0 4

Passo 3

E agora é só fazer a soma desses termos:

A 2 - 3 A - 4 I = 0

d 1 2 0 0 0 d 2 2 0 0 0 d 3 2 - 3 d 1 0 0 0 3 d 2 0 0 0 3 d 3 - 4 0 0 0 4 0 0 0 4 = 0

d 1 2 - 3 d 1 - 4 0 0 0 d 2 2 - 3 d 2 - 4 0 0 0 d 3 2 - 3 d 3 - 4 = 0

Dessa matriz podemos obter essas três equações:

d 1 2 - 3 d 1 - 4 = 0

d 2 2 - 3 d 2 - 4 = 0

d 3 2 - 3 d 3 - 4 = 0

Como as três equações são iguais as três variáveis também vão assumir o mesmo valor. Resolvendo essa equação de segundo grau:

d 1 = 4 ou d 1 = - 1

Assim como as outras duas variáveis:

d 2 = 4 ou d 2 = - 1

d 3 = 4 ou d 3 = - 1

Resposta

d 1 = 4 ou d 1 = - 1

d 2 = 4 ou d 2 = - 1

d 3 = 4 ou d 3 = - 1

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