Enunciado

Encontre os valores de λ tais que o sistema homogêneo (A - λ I n )X = 0 tem solução não trivial e para estes valores de λ, encontre uma base para o espaço solução, para as matrizes A dadas:

e) A =   2 3 0 0 1 0 0 0 2

Passo 1

Vamos lá para mais uma questão!!

Vamos escrever a matriz A - λ I n , de forma que:

A - λ I n = 2   -   λ 3 0 0 1   -   λ 0 0 0 2   -   λ

Passo 2

Agora, temos que calcular o determinante dessa nossa matriz:

det ⁡ 2   -   λ 3 0 0 1   -   λ 0 0 0 2   -   λ

det = 5 λ 2 - λ 3 - 8 λ + 4

Igualando o determinante a zero:

5 λ 2 - λ 3 - 8 λ + 4 = 0

Reescrevendo:

- ( λ - 1 ) ( λ - 2 ) 2 = 0

λ = 1

λ = 2

Passo 3

Substituindo λ = 1 na matriz A - λ I n :

1 3 0 0 0 0 0 0 1

Montando uma matriz aumentada para o sistema (A - λ I n )X = 0:

1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

Escalonando:

1 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

Assim, temos como resultado:

x 1 + 3 x 2 = 0 x 3 = 0

Assim, a solução do sistema é:

X = - 3 a a 0

Nesse sentido, podemos dizer que para qualquer elemento:

a(-3, 1, 0)

Substituindo λ = 2 na matriz A - λ I n :

0 3 0 0 - 1 0 0 0 0

Montando uma matriz aumentada para o sistema (A - λ I n )X = 0:

0 3 0 0 0 - 1 0 0 0 0 0 0

Assim, temos como resultado:

3 x 2 = 0 - x 2 = 0

Assim, a solução do sistema é:

X = a 0 b

Nesse sentido, podemos dizer que para qualquer elemento:

a(1, 0, 0) + b(0, 0, 1)

Resposta

λ = 1

V1 = (-3, 1, 0)

λ = 2

V2 = (1, 0, 0) e V3 = (0, 0, 1)

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