Enunciado

Encontre os valores de λ tais que o sistema homogêneo (A - λ I n )X = 0 tem solução não trivial e para estes valores de λ, encontre uma base para o espaço solução, para as matrizes A dadas:

d )   A =   - 1 2 2 0 - 1 2 1 0 - 1 0 1 0 2 0 0 1

Passo 1

Vamos lá para mais uma questão!!

Vamos escrever a matriz A - λ I n , de forma que:

A - λ I n = - 1 -   λ 2 2                         0 - 1 2 -   λ 1                         0 - 1 0 1 0 2 -   λ 0 0 1 -   λ

Passo 2

Agora, temos que calcular o determinante dessa nossa matriz:

det ⁡ - 1 -   λ 2 2                       0 - 1 2 -   λ 1                       0 - 1 0 1 0 2 -   λ 0 0 1 -   λ

det = λ 4 - 4 λ 3 + 6 λ 2 - 4 λ + 1

Igualando o determinante a zero:

λ 4 - 4 λ 3 + 6 λ 2 - 4 λ + 1 = 0

Reescrevendo:

( λ - 1 ) 4 = 0

λ = 1

Passo 3

Substituindo λ   na matriz A - λ I n :

- 2 2 2   0 - 1 1 1 0 - 1 0 1 0 1 0 0 0

Montando uma matriz aumentada para o sistema (A - λ I n )X = 0:

- 2 2 2   0 - 1 1 1 0 - 1 0 1 0 1 0 0 0

Escalonando:

- 2 2 2   0 - 1 1 1 0 - 1 0 1 0 1 0 0 0 L 1 → - 2 L 1

1 - 1 - 1   0 - 1 1 1 0 - 1 0 1 0 1 0 0 0 L 2 → L 2 + L 1

1 - 1 - 1   0 0 0 0 0 - 1 0 1 0 1 0 0 0 L 3 → L 3 + L 1

1 - 1 - 1   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Assim, temos como resultado:

x 1 - x 2 - x 3 = 0

Assim, a solução do sistema é:

X = b + c c b a

Nesse sentido, podemos dizer que para qualquer elemento:

(b+c, c, b, a) = a(0,0,0,1) + b(1,0,1,0) + c(1,1,0,0)

Resposta

λ = 1

V1 = (0,0,0,1)

V2 = (1,0,1,0)

V3 = (1,1,0,0)

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Encontre os valores de λ tais que o sistema homogêneo A - λ I n X = 0 - tem solução não trivial e para estes valores de λ , encontre uma base para o espaço solução, para as matrizes A dadas:c) 1 1 - 2
Dados v 1 = 1,1 , 1ev 2 = 3 , - 1,4 : a) Os vetores v 1ev 2 geram o R 3 ? Justifique.b) Seja v 3 um terceiro vetor do R 3 . Quais as condições sobre v 3 , para que { v 1 , v 2ev 3 } seja uma base de R
Mostre que { 1 , t 2 , t 4 , … , t 2 n , … } e uma base para o subespaço dos polinômios que satisfazem p - 1 = p ( t ) , para todo t ∈ R .
Mostre que { 2 , t + 1 , t^2 + 1 , ... , t^n + , ... } é uma base para p = R [ t ] .
Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços de M n n abaixo:a) Matrizes simétricas;b) Matrizes antissimétricas; c) Matrizes de traço igual a zero;d) Matrizes que tem a primeira linha igu