Enunciado

Encontre os valores de λ tais que o sistema homogêneo (A - λ I n )X = 0 tem solução não trivial e para estes valores de λ, encontre uma base para o espaço solução, para as matrizes A dadas:

  1. A =   0 0 1 1 0 - 3 0 1 3

Passo 1

Vamos lá para mais uma questão!!

Vamos escrever a matriz A - λ I n , de forma que:

A - λ I n = - λ 0 1 1 - λ - 3 0 1 3 - λ

Passo 2

Agora, temos que calcular o determinante dessa nossa matriz:

det ⁡ - λ 0 1 1 - λ - 3 0 1 3 - λ

det = 3 λ 2 - λ 3 + 0 + 1 - 0 - 0 - 3 λ

det = 3 λ 2 - λ 3 - 3 λ + 1

Igualando o determinante a zero:

3 λ 2 - λ 3 - 3 λ + 1 = 0

Reescrevendo:

- ( λ - 1 ) 3 = 0

λ = 1

Passo 3

Substituindo λ   na matriz A - λ I n :

- 1 0 1 1 - 1 - 3 0 1 2

Montando uma matriz aumentada para o sistema (A - λ I n )X = 0:

- 1 0 1 0 1 - 1 - 3 0 0 1 2 0

Escalonando:

- 1 0 1 0 1 - 1 - 3 0 0 1 2 0 L 1 → - L 1

1 0 - 1 0 1 - 1 - 3 0 0 1 2 0 L 2 → L 2 - L 1

1 0 - 1 0 0 - 1 - 2 0 0 1 2 0 L 2 → - L 2

1 0 - 1 0 0 1 2 0 0 1 2 0 L 3 → L 3 - L 2

1 0 - 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0

Assim, temos como resultado:

x 1 - x 3 = 0 x 2 + 2 x 3 = 0

Assim, a solução do sistema é:

X = a - 2 a a

Nesse sentido, podemos dizer que para qualquer elemento:

(a, -2a, a) = a(1, -2, 1)

Resposta

λ = 1

V = (1, -2, 1)

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