Enunciado

Encontre o vetor de coordenadas de A em relação à base S = A 1 ,   A 2 ,   A 3 ,   A 4 de M 22 .

A = 2 0 - 1 3 ,             A 1 = - 1 1 0 0 ,             A 2 = 1 1 0 0 ,             A 3 = 0 0 1 0             e           A 4 = 0 0 0 1

Passo 1

Esse é um exercício sobre mudança de base no espaço das matrizes 2 × 2 . A base canônica é

c a n = 1 0 0 0 ,   0 1 0 0 ,   0 0 1 0 ,   0 0 0 1

Já a base S é dada por

S = - 1 1 0 0 ,   1 1 0 0 ,   0 0 1 0 ,   0 0 0 1

Note que os dois últimos vetores de S são os dois últimos vetores da base canônica!

O vetor A (que no fundo é uma matriz, mas lembre-se que as matrizes são vetores também) pode ser expresso como

A = 2   1 0 0 0 + 0   0 1 0 0 + - 1 0 0 1 0 + 3 0 0 0 1 = 2 ,   0 ,   - 1 ,   3 c a n

Quando representamos um vetor do espaço das matrizes 2 × 2 em coordenadas, ele é representado como um vetor de R 4 .

Passo 2

Queremos representar a matriz A na base S . Para isso, temos que achar a matriz P c a n → S . Mas antes disso, vamos escrever

A 1 = - 1 1 0 0 = - 1 ,   1 ,   0 ,   0 c a n

A 2 = 1 1 0 0 = 1 ,   1 ,   0 ,   0 c a n

A 3 =   0 0 1 0 = 0 ,   0 ,   1 ,   0 c a n

A 4 =   0 0 0 1 = 0 ,   0 ,   0 ,   1 c a n

Assim, podemos usar essa coordenadas para construir a matriz:

P S → c a n = - 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1

Para achar a matriz P c a n → S , basta inverter essa matriz. Note que tirando o bloco do canto esquerdo superior, essa matriz já é quase a identidade. Assim, nós só precisamos nos preocupar com o bloco:

- 1 1 1 1

Para inverter essa matriz, usamos a fórmula (que só vale para as matrizes 2 × 2 ):

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Assim,

- 1 1 1 1 - 1 = 1 - 1 - 1 1 - 1 - 1 - 1 = - 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2

Com isso, temos que

P c a n → S = - 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1

Passo 3

Assim,

A S = P c a n → S A c a n = - 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 - 1 3

Logo,

A S = - 1 1 - 1 3

Portanto, podemos escrever

A = - 1 ,   1 ,   - 1 ,   3 S

Resposta

A = - 1 ,   1 ,   - 1 ,   3 S

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