Enunciado

Considere as bases B = u 1 ,   u 2 ,   u 3 e B ' = u 1 ' ,   u 2 ' ,   u 3 ' de R 3 , em que

u 1 = - 3 0 - 3 ,               u 2 = - 3 2 - 1 ,             u 3 = 1 6 - 1

u 1 ' = - 6 - 6 0 ,                   u 2 ' = - 2 - 6 4 ,                 u 3 ' = - 2 - 3 7

a) Encontre a matriz de transição de B para B ' .

b) Calcule o vetor de coordenadas w B , em que

w = - 5 8 - 5

e use (12) para calcular w B ' .

c) Confira seu trabalho calculando w B ' diretamente.

Passo 1

O exercício forneceu duas bases para R 3 e quem que achemos a matriz de transição da base B para a base B ' . Para isso, usamos o método da fórmula (14). Montamos a matriz expandida

b a s e   n o v a     b a s e   v e l h a ] → B '     B ]

Fazendo isso, achamos

- 6 - 2 - 2 - 6 - 6 - 3 0 4 7 - 3 - 3 1 0 2 6 - 3 - 1 - 1

Agora temos que fazer operações de linha para transformar a matriz do lado esquerdo na identidade. O primeiro passo é multiplicar a primeira linha por - 1 :

6 2 2 - 6 - 6 - 3 0 4 7 3 3 - 1 0 2 6 - 3 - 1 - 1

Agora somamos a primeira linha com a segunda:

6 2 2 0 - 4 - 1 0 4 7 3 3 - 1 3 5 5 - 3 - 1 - 1

Agora somamos a segunda com a terceira:

6 2 2 0 - 4 - 1 0 0 6 3 3 - 1 3 5 5 0 4 4 → 6 2 2 0 - 4 - 1 0 0 3 3 3 - 1 3 5 5 0 2 2

Em seguida, multiplicamos a segunda linha por 3 e somamos com a terceira:

6 2 2 0 - 12 0 0 0 3 3 3 - 1 9 17 17 0 2 2

Agora multiplicamos a primeira linha por 6 e somamos com a segunda:

36 0 12 0 - 12 0 0 0 3 27 35 11 9 17 17 0 2 2

O próximo passo é multiplicar a terceira linha por - 4 e somar com a primeira:

36 0 0 0 - 12 0 0 0 3 27 27 3 9 17 17 0 2 2 → 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 / 4 3 / 4 1 / 12 - 3 / 4 - 17 / 12 - 17 / 12 0 2 / 3 2 / 3

Com isso, achamos

P B → B ' = 3 4 3 4 1 12 - 3 4 - 17 12 - 17 12 0 2 3 2 3

Passo 2

No item (b), temos o vetor

w = - 5 ,   8 ,   - 5

Queremos escrever ele na base B :

w = - 5 ,   8 ,   - 5 = a u 1 + b u 2 + c u 3

- 5 ,   8 ,   - 5 = a   - 3 ,   0 ,   - 3 + b   - 3 ,   2 ,   - 1 + c   1 ,   6 ,   - 1

Note que a solução desse sistema é

a = b = c = 1

Portanto,

w = 1 ,   1 ,   1 B

Ou ainda,

w B = 1 1 1

Passo 3

Para achar w B ' , usamos a relação

w B ' = P B → B ' w B

Assim,

w B ' = 3 4 3 4 1 12 - 3 4 - 17 12 - 17 12 0 2 3 2 3 1 1 1

Fazendo o produto

w B ' = 1 9 / 1 2 - 43 / 12 4 / 3

Passo 4

A última coisa que temos que fazer é verificar nossa resposta fazendo a conta na raça:

w = 1 9 1 2 ,   - 13 3 , 4 3 B ' = 1 9 1 2 u 1 ' - 4 3 12 u 2 ' + 4 3 u 3 '

Logo,

w = 1 9 1 2 - 6 ,   - 6 ,   0 - 43 12   - 2 ,   - 6 ,   4 + 4 3   - 2 ,   - 3 ,   7

Assim,

w = - 1 9 2 ,   - 1 9 2 ,   0 + 43 6 , 43 2 ,   - 43 3 + - 8 3 ,   - 4 , 28 3 = - 5 ,   8 ,   - 5

Com isso, verificamos que nossas contas estão corretas!

Resposta

P B → B ' = 3 4 3 4 1 12 - 3 4 - 17 12 - 17 12 0 2 3 2 3

w B = 1 1 1

w B ' = 1 9 / 1 2 - 43 / 3 4 / 3

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