Enunciado

3. Enunciar rigorosamente e provar: um operador linear do R n preserva os centróides.

Passo 1

Seja um operador linear

T : R n → R n

Os centroídes se preservam.

Passo 2

Vamos tomar dois vetores:

u = u 1 , … ,   u n

v = v 1 , … , v n

O centróide:

u 1 + v 1 2 , … , u n + v n 2

Fazendo qualquer tranformação linear e achando o centróide, vamos ver que dão o mesmo centróide...

É só isso.

Resposta

Demonstração

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4. Tomemos três vetores no R 2 , cujas extremidades formem um triângulo. Qual é o ponto do triângulo que coincide com a extremidade do centróide dos três vetores?
1. Resolva o sistema X ' t = A ⋅ X t , onde A = 1 1 0 2 E X 0 = 0,1 .
2. Seja u o centróide dos vetores u 1 , u 2 , … , u p do R n . Calcular nos exemplos do exercício 1 a soma u - u 1 2 + … + u - u p 2 .
5. Seja W o sub-espaço do R 4 gerado pelos vetores u 1 = 1,2 , 0,1 , u 2 = 2 , - 1,0 , 0 e u 3 = 0,0 , 1,0 . Calcular a projeção do vetor u sobre W nos seguintes casos: u = 3,1 , 2,2 ; u = 1,2 , 1,1 ;