Enunciado

1. Resolva o sistema X ' t = A ⋅ X t , onde

A = 1 1 0 2

E X 0 = 0,1 .

Passo 1

Bom... a primeira coisa que precisamos fazer é saber se a matriz dos coeficientes é diagonalizável.

Como det ⁡ A ≠ 0 , então A é diagonalizável.

Vamos então preparar o polinômio característico e achar as raízes...

det ⁡ A - λ I = 1 - λ 2 - λ = 0

λ 1 = 1

λ 2 = 2  

Passo 2

Vamos achar os autovetores pela definição:

A b = λ b

- Pra λ = 1

1 1 0 2 x y = 1 x y

x + y = x

2 y = y

Então ficamos com o autovetor:

b = x 0

E o autoespaço:

P 1 = 1 0

- Pra λ = 2

1 1 0 2 x y = 2 x y

x + y = 2 x

2 y = 2 y

Então:

y = y

x = y

Então ficamos com o autovetor:

b = y y

E o autoespaço:

P 2 = 1 1

Passo 3

Assim, a matriz A é diagonalizável e, se:

P = 1 1 0 1

Então:

P - 1 A P = 1 0 0 2

Ora, de X t = c 1 e λ 1 t P 1 + c 2 e λ 2 t P 2 segue que:

x 1 t = c 1 e t + c 2 e 2 t x 2 t = c 2 e 2 t

A fim de que X 0 = 0,1 t , deveremos ter:

0 = c 1 + c 2 1 = c 2

Cuja solução é:

c 2 = 1

c 1 = - 1

Então, a solução que satisfaz a condição inicial é:

x 1 t = - e t + e 2 t x 2 t = e 2 t

X t = - e t + e 2 t e 2 t

Resposta

X t = - e t + e 2 t e 2 t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

4. Tomemos três vetores no R 2 , cujas extremidades formem um triângulo. Qual é o ponto do triângulo que coincide com a extremidade do centróide dos três vetores?
3. Enunciar rigorosamente e provar: um operador linear do R n preserva os centróides.
2. Seja u o centróide dos vetores u 1 , u 2 , … , u p do R n . Calcular nos exemplos do exercício 1 a soma u - u 1 2 + … + u - u p 2 .
5. Seja W o sub-espaço do R 4 gerado pelos vetores u 1 = 1,2 , 0,1 , u 2 = 2 , - 1,0 , 0 e u 3 = 0,0 , 1,0 . Calcular a projeção do vetor u sobre W nos seguintes casos: u = 3,1 , 2,2 ; u = 1,2 , 1,1 ;