Enunciado

Dê as equações da elipse, parábola e hipérbole “centradas” em um ponto P m ,   n o plano e com eixos paralelos aos eixos coordenados. Encontre também os seus focos, diretrizes e excentricidade.

Passo 1

Vamos começar para a elipse e depois seguir um processo análogo para as outras cônicas. Como vimos no exercício 2, o centro de uma cônica é ditado de acordo com o termo quadrático. Para a elipse centrada em m , n , por exemplo, temos (na forma canônica):

x - m 2 a 2 + y - n 2 b 2 = 1

Agora vamos para as retas diretrizes da elipse que temos. No caso de uma elipse centrada na origem com seu eixo maior no eixo x a > b , suas retas diretrizes serão dadas por:

x 1 = - a e ; x 2 = a e

A diferença é que agora temos uma translação que precisamos considerar igualmente para essas retas diretrizes. Como estamos considerando as retas diretrizes em x , vamos acrescer em cada uma dessas retas o termo referente à translação da elipse.

x 1 = - a e + m ; x 2 = a e + m

Agora vamos tratar dos pontos focais da elipse. Acontecerá um processo parecido ao que aconteceu com as retas diretrizes, porém agora vamos considerar a translação de ambos os eixos. Em uma elipse centrada na origem, temos os focos:

F 1 = - c ,   0 ; F 2 = c ,   0

Agora vamos transladar eles junto com a elipse! Tanto em x quanto em y :

F 1 = - c + m ,   n ; F 2 = c + m ,   n

A excentricidade permanecerá inalterada! Pois a excentricidade está relacionada às dimensões da cônica. A excentricidade não fala nada sobre a posição da cônica!

e = c a

Passo 2

Vamos seguir passos exatamente análogos para a hipérbole:

x - m 2 a 2 - y - n 2 b 2 = 1

A mesma translação acontece nas retas diretrizes!

x 1 = - a e + m ; x 2 = a e + m

Da mesma forma para os focos da hipérbole! Porém agora estamos considerando c = a 2 - b 2 .

F 1 = - c + m ,   n ; F 2 = c + m ,   n

Repare que o c não muda pelo mesmo motivo que a excentricidade não muda, ele depende apenas da forma da cônica e não de onde ela está no plano!

Passo 3

Vamos finalizar com a parábola, mas a essa altura você já pegou a ideia, né? A equação da parábola vai ficar igualzinha só transladada em y e em x :

y - n 2 = 4 a ( x - m )

A parábola é mais tranquilinha, não temos que nos preocupar com a excentricidade, temos um foco a menos e uma reta diretriz a menos para nos estressar. O mesmo que aconteceu para as outras duas cônicas vai acontecer na parábola também; seu foco será transladado junto com a parábola assim como a diretriz.

A diretriz será transladada:

x = - a + m

E da mesma forma para o foco:

F = a + m ,   n

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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