Enunciado

Encontrar uma equação da elipse com focos nos vértices da hipérbole y 2 4 - x 2 5 = 1 e vértices nos focos dessa hipérbole.

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Pra começar, você identifica que temos uma hipérbole de pé? O termo positivo é com o y , isso indica a orientação dela! Outra coisa que dá pra ver logo de cara é que essa hipérbole está centrada na origem, pois não temos algo do tipo y - h 2 ou x - k 2 no numerador da equação dada. Sendo assim o centro é C 0,0 .

E, por falar na equação geral, vamos relembrar como é a equação geral da hipérbole de pé:

y 2 a - x 2 b = 1

Comparando com a equação do enunciado:

y 2 4 - x 2 5 = 1  

Temos que a = 2 e b = 5 .

E da relação fundamental c 2 = a 2 + b 2 podemos encontrar o parâmetro c :

c 2 = 4 + 5

c = 9 = 3

Então a distância entre o centro e um dos focos da hipérbole é 3 . Como essa hipérbole está de pé, os focos são ( 0,3 ) e ( 0 , - 3 ) . Os vértices estão relacionados com o parâmetro a , então os pontos dos vértices dessa hipérbole são ( 0,2 ) e ( 0 , - 2 ) .

Beleza?

Passo 2

Agora vou desenhar a hipérbole e depois desenhar a elipse em cima pra gente ver a equivalência dos valores. Os vértices estão marcados pelas bolinhas vermelhas e os focos com as bolinhas roxas. Coloquei também os pontos da parte superior da hipérbole, os outros dois são simétricos e estão pra baixo do eixo x . O esboço dessa hipérbole é:

Tranquilo?

Agora por cima vou desenhar a elipse. Os focos dela vão ser os pontos vermelhos e consequentemente os vértices serão os pontos roxos. Ela também vai estar em pé, ou seja, o semi eixo maior é o vertical. O esboço (em verde) vai ficar assim:

Agora temos que pensar na elipse e esquecer o que a , b e c da hipérbole significam e ficar apenas com os valores. Olhando para a elipse, a distância do centro até o ponto vermelho é o parâmetro c , certo? E como essa distância vale 2 , então c = 2 na elipse. E a distância do centro até um dos vértices é o parâmetro a , e no nosso desenho ele vale 3 , então a = 3 .

A relação fundamental da elipse é similar ao Pitágoras, então podemos achar o parâmetro b , que é fundamental pra gente escrever a equação geral dela:

a 2 = b 2 + c 2

b 2 = a 2 - c 2

b 2 = 3 2 - 2 2 = 9 - 4

b = 5

Beleza até aqui?

Passo 3

Agora vou te relembrar o que fizemos até aqui: temos o centro ( 0,0 ) , os parâmetros a = 3 , b = 5 e c = 2 da elipse. Como ela é centrada na origem, não precisamos deslocar ela na equação. A equação geral é:

x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1

Substituindo a e b temos:

x 2 5 + y 2 9 = 1

Multiplicando toda equação por 45 temos:

45 . x 2 5 + 45 . y 2 9 = 45

9 x 2 + 5 y 2 = 45

9 x 2 + 5 y 2 - 45 = 0

Pronto! Conseguimos escrever a equação para essa elipse!

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

9 x 2 + 5 y 2 - 45 = 0

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