Enunciado

Escreva uma equação reduzida da elipse, nos casos:

  1. O centro é O , os focos estão em O x , o eixo menor mede 6, e a distância focal é 8.
  2. O centro é O , os focos estão em O y , o eixo maior mede 10, e a distância focal é 6.
  3. Os focos são 0,6 e 0 , - 6 , e o eixo maior mede 34.
  4. Os focos são 5,0 e - 5,0 e um dos vértices é - 13,0 .
  5. Os focos são - 1,0 e 1,0 e um dos vértices é 0 , 2 .
  6. As extremidades do eixo menor são 0,4 e 0 , - 4 , e a amplitude focal é 8/5.
  7. Os focos são 0,2 3 e 0 , - 2 3 e a amplitude focal é 2.
  8. O centro é a origem, 0 , - 40 é um foco, e o ponto 5 , 14 3 pertence a elipse.

Passo 1

A equação reduzida de uma elipse centrada na origem é da forma:

x 2 p 2 + y 2 q 2 = 1

O centro da elipse é no ponto médio entre os dois focos. Portanto,

C = c , 0 + - c , 0 2 = 0,0

Portanto, a elipse realmente está centrada na origem! Além disto, como os focos estão localizados no eixo O x , o denominador maior é p 2 . Podemos representar então, utilizando a definição de que a > b , a elipse da seguinte forma:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Bom, vamos utilizar as relações do vértice e da coordenada dos focos.

Como a elipse tem focos no eixo O x , os vértices em relação ao eixo O y são 0 , ± b . Comparando com o vértice 0 , 2 , percebemos que b = 2 . Já descobrimos o nosso primeiro parâmetro.

E em relação aos focos? Sabemos que eles têm coordenadas F = ± c , 0 = ± 1 , 0 . Só que quem é c ? Este parâmetro é obtido pela seguinte relação de a e b :

c 2 = a 2 - b 2

a 2 = c 2 + b 2 = 1 2 + 2 2

a 2 = 1 + 2 = 3

a = 3

Novamente, só assumimos o valor positivo, pois, os parâmetros geométricos são positivos por definição. Portanto, temos a seguinte equação da elipse:

x 2 3 + y 2 2 = 1

Resposta

x 2 3 + y 2 2 = 1

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Centro C ( 0,0 ) , eixo menor igual a 6, focos no eixo dos x e passando pelo ponto ( 2 5 , 2 ) ;
Esboçar o gráfico de uma elipse de excentricidade: 1 2
Esboçar o gráfico de uma elipse de excentricidade: 1 3
Vértices A ( ± 10 , 0 ) e excentricidade 1 2 ;
Esboçar o gráfico de uma elipse de excentricidade: 3 5