Enunciado

Escreva equações paramétricas da reta r que passa por A   =   ( 1,2 , - 1 ) , encontra a reta x - 1 2   =   y   =   z + 3 - 1 e é ortogonal ao vetor u →   =   ( 1 , - 1,2 ) .

Passo 1

Então, galerinha, vamos usar A   =   ( 1,2 , - 1 ) como o ponto de início da reta r . Por enquanto o vetor diretor será da forma v → r = ( a , b , c ) . Assim, as equações paramétricas da reta assumem a seguinte forma:

x = 1 + r a ,   y = 2 + r b ,   z = - 1 + r c

Para determinar o vetor diretor, vamos usar as informações de que r encontra a reta x - 1 2   =   y   =   z + 3 - 1 e é ortogonal ao vetor u →   =   ( 1 , - 1,2 ) .

Como a reta r é ortogonal a u →   =   ( 1 , - 1,2 ) , então vale

v → r ⋅ u → = 0

⇒ ( a , b , c ) ⋅   ( 1 , - 1,2 ) = 0

⇒ a - b + 2 c = 0

⇒ b = a + 2 c

Já podemos utilizar essa informação nas equações paramétricas da reta

x = 1 + r a ,   y = 2 + r ( a + 2 c ) ,   z = - 1 + r c

Agora, vamos reescrever a outra reta na forma paramétrica

s : x - 1 2   =   y   =   z + 3 - 1 = s ⇒ x = 1 + 2 s ,   y = s ,   z = - 3 - s

Passo 2

Quando as duas retas se encontram, sua coordenadas se igualam e temos

x = 1 + 2 s = 1 + r a

y = s = 2 + r ( a + 2 c )

  z = - 3 - s = - 1 + r c

Vamos multiplicar a terceira equação por por 2:

x = 1 + 2 s = 1 + r a

y = s = 2 + r ( a + 2 c )

  2 z = - 6 - 2 s = - 2 + 2 r c

Agora, vamos somar a primeira equação com a terceira:

x + 2 z ⇒ - 6 + 1 = 1 + r a - 2 + 2 r c

⇒ - 5 = - 1 + r ( a + 2 c ) ⇒ r ( a + 2 c ) = - 4

Agora, subtraímos 2 da segunda equação

y - 2 ⇒ s - 2 = r ( a + 2 c )

Comparando esse resultado com r ( a + 2 c ) = - 4 , vemos que devemos ter

s - 2 = - 4 ⇒ s = - 2

Isso quer dizer que as duas retas se encontram quando o parâmetro da segunda reta é s = - 2 . Isso corresponde ao ponto P = ( 1 + 2 s , s , - 3 - s ) = ( - 3 , - 2 , - 1 ) . Nesse caso, obtemos

x = 1 + 2 s = 1 + r a ⇒ 1 + r a = 1 - 4 = - 3

y = s = 2 + r ( a + 2 c ) ⇒ r ( a + 2 c ) = s - 2 = - 2 - 2 = - 4

  2 z = - 6 - 2 s = - 2 + 2 r c ⇒ 2 r c = - 2 s - 4 = 4 - 4 = 0 ⇒ r c = 0

A última equação resultou em r c = 0 , o que quer dizer r ou c são iguais a zero. Se olharmos bem para a segunda equação, veremos que r não pode ser igual a zero, caso contrário teríamos 0 = - 4 . Então só resta a opção c = 0 . Assim, a primeira e segunda equações se tornam

1 + r a = - 3

r a = - 4

que são basicamente equivalentes.

Passo 3

Bom, como b = a + 2 c = a , as equações paramétricas da reta se reduzem a

x = 1 + r a ,   y = 2 + r a ,   z = - 1

Por enquanto só sabemos que r a = - 4 . Mas podemos determinar a lembrando que o ponto ( 1,2 , - 1 ) pertence a reta. Assim, devemos ter um valor do parâmetro r para o qual

x = 1 + r a = 1

y = 2 + r a = 2

Nos dois casos, chegamos à mesma conclusão de que r a = 0 . Como a não mudou, apenas r , concluímos que r = 0 no ponto A . Já esgotamos nossas opções e não conseguimos determinar r e a separadamente. Então, vamos fazer o seguinte, vamos reescrever as equações paramétricas na forma simétrica ( z não entra nesses cálculos porque tem um valor fixo   z = - 1 ):

x = 1 + r a

y = 2 + r a

⇒ r = x - 1 a = y - 2 a   ( × a )

⇒ t ≡ r a = x - 1 = y - 2

onde definimos um novo parâmetro t ≡ r a . Assim,

x = 1 + t ,   y = 2 + t

Resposta

x = 1 + t ,   y = 2 + t ,   z = - 1

Exercícios de Livros Relacionados

Obtenha equações na forma simétrica de uma reta que contém o ponto P = ( 1 ,- 2 ,3 ) e forma ângulos de 45 ° e 60 ° , respectivamente, com os eixos O x e O y .
Sob a forma a x + b y = c , escreva a equação da reta perpendicular à reta 3 x + 2 y = 5 baixada do ponto P = ( - 1 , - 2 ) .
Prove que não existe um triângulo equilátero cujos vértices tenham coordenadas racionais.
Dadas as retas r : a x + b y = c er ' : a ' x + b ' y = c ' , suponha que a 2 + b 2 = a ' 2 + b ' 2 = 1 . Mostre que as duas bissetrizes do ângulo formados por r e r ' são a - a ' x + b - b ' y = c -