Enunciado

Obtenha equações na forma simétrica de uma reta que contém o ponto P = ( 1 ,   - 2 ,   3 ) e forma ângulos de 45 ° e 60 ° , respectivamente, com os eixos O x e O y .

Passo 1

O eixo O x tem vetor diretor ( 1 ,   0 ,   0 ) , enquanto o eixo O y tem vetor diretor ( 0 ,   1 ,   0 ) .

A reta que queremos, tem vetor diretor ( a ,   b ,   c ) e ele forma um ângulo de 45 ° com ( 1 ,   0 ,   0 ) e 60 ° com ( 0 ,   1 ,   0 ) .

Para O x :

cos ⁡ 45 ° = a ,   b ,   c . 1 ,   0 ,   0 a 2 + b 2 + c ² . 1

2 2 = a a 2 + b 2 + c ²

Elevando ao quadrado:

2 4 = a ² a 2 + b 2 + c ²   ( i )

Para O y :

cos ⁡ 60 ° = a ,   b ,   c . 0 ,   1 ,   0 a 2 + b 2 + c ² . 1

1 4 = b ² a 2 + b 2 + c ²   ( i i )

Passo 2

Analisando a equação ( i ) , em seu numerador, temos que a = ± 2 , enquanto na equação ( i i ) temos que b = ± 1 .

Com base nisso, podemos analisar os numeradores de cada equação, concluindo que c = ± 1

Então nossas opções de vetores diretores são:

2 ,   1 ,   1                               2 ,   1 ,   - 1                   - 2 ,   1 ,   - 1                     - 2 ,   1 ,   1 …

Então, a equação simétrica da reta é dada assim:

x - 1 a = y + 2 b = z - 3 c

Sendo a , b e c um dos vetores diretores que encontramos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Obtenha equações da reta r que contém o ponto P = ( 1 ,1 ,1 ) e é concorrente com s : x = 2 y = 2 z , sabendo que o cosseno da medida angular entre r e s é igual a 1 3 .
Determine o ponto P na reta r : X = 0 ,2 ,0 + λ ( 0 ,1 ,0 ) e o ponto Q na reta s : X = 1 ,2 ,0 + λ ( 0 ,0 ,1 ) , tais que a reta P Q forme ângulos de 45 ° com r e de 60 ° com s .
Obtenha uma equação vetorial da reta paralela ao plano π : 2 x - y - z + 1 = 0 , concorrente com as retas r : X = 1 ,0 ,0 + λ ( 1 ,1 ,0 ) e s : X = 0 ,1 ,0 + λ ( 0 ,1 ,1 ) , que forma com elas ângulos
O plano π contém A = 3 ,7 ,- 2 e é perpendicular à O z e intercepta o conjunto Ω do exercício resolvido anterior em uma circunferência. Calcule o raio dessa circunferência.
O retângulo A B C D tem B C como diagonal e está contido no plano π : x + y + z = 0 . As retas A B e B C formam um ângulo de 30 ° . Determine B ,C e D , sabendo que A = 1 ,- 1,0 e que B pertence à ret