Enunciado

Nos exercícios 16-21, encontre as multiplicidades geométricas e algébrica de cada autovalor de A e determine se A é diagonalizável. Se for, encontre uma matriz P que diagonalize A e calcule P - 1 A P

A = - 2 0 0 0 0 - 2 5 - 5 0 0 3 0 0 0 0 3

Passo 1

A questão nos dá a seguinte matriz:

A = - 2 0 0 0 0 - 2 5 - 5 0 0 3 0 0 0 0 3

Essta é uma matriz triangular, então os autovalores são:

λ 1 = λ 2 = - 2 λ 3 = λ 4 = 3

Os autovalores λ 1 = λ 2 = 0 e λ 3 = λ 4 = 3   aparecem duas vezes então ambos têm multiplicidade algébrica igual a 2.

Passo 2

Vamos calcular os autovetores:

λ + 2 0 0 0 0 λ + 2 5 - 5 0 0 λ - 3 0 0 0 0 λ - 3 x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

Para λ = - 2

0 0 0 0 0 0 5 - 5 0 0 - 5 0 0 0 0 - 5 x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

Vamos pegar a terceira e quarta linha e somar na segunda linha:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 5 0 0 0 0 - 5 x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

x 1 = t x 2 = s x 3 = 0 x 4 = 0

Então os autovetores associados:

λ = - 2 ⇒ x → = t s 0 0

Como temos duas variáveis indepentes, podemos separar em dois autovetores:

λ = 0 ⇒ x → = t 0 0 0 + 0 s 0 0

λ = 0 ⇒ x → 1 = t 1 0 0 0   e   x → 2 = s 0 1 0 0

As bases dos autovetores são:

p → 1 = 1 0 0 0

p → 2 = 0 1 0 0

Este autovalor tem multiplicidade aritimética igual a 2 , e é associado a dois autovetores, o que torna sua multiplicidade geométrica igual a 2.

Passo 3

Para λ = 3

5 0 0 0 0 5 5 - 5 0 0 0 0 0 0 0 0 x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

Vamos dividir tudo por 5 :

1 0 0 0 0 1 1 - 1 0 0 0 0 0 0 0 0 x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

x 1 = 0 x 2 = t x 3 = s x 4 = t - s

Então os autovetores associados:

λ = 3 ⇒ x → = t 0 t - s t 0

Como temos duas variáveis indepentes, podemos separar em dois autovetores:

λ = 0 ⇒ x → = 0 t t 0 - 0 s 0 0

λ = 0 ⇒ x → 3 = t 0 1 1 0   e   x → 4 = s 0 - 1 0 0

As bases dos autovetores são:

p → 2 = 0 1 1 0

p → 3 = 0 - 1 0 0

Este autovalor tem multiplicidade aritimética igual a 2 , e é associado a dois autovetores, o que torna sua multiplicidade geométrica igual a 2.

Passo 4

A matriz P é dada pela composição dos autovetores:

P = p → 1 p → 2 p → 3 p → 4 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 - 1 0 0

E a matriz diagonal é igual a diagonal de autovalores:

P - 1 A P = λ 1 0 0 0 0 λ 2 0 0 0 0 λ 3 0 0 0 0 λ 4 = - 2 0 0 0 0 - 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3

Resposta

A matriz é diagonalizável.

P = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 - 1 0 0

P - 1 A P = - 2 0 0 0 0 - 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3

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