Enunciado

Nos Exercícios 12-15, encontre uma matriz P que diagonalize A e calcule P - 1 A P .

A = 1 0 6 - 1

Passo 1

Primeiro vamos calcular os autovalores da matriz:

A = 1 0 6 - 1

Esta é uma matriz triangular, então os autovalores estão na diagonal principal. Os autovalores são:

λ 1 = 1

λ 2 = - 1

Passo 2

Vamos calcular os autovetores:

λ - 1 0 - 6 λ + 1 x 1 x 2 = 0

Para λ 1 = 1

0 0 - 6 2 x 1 x 2 = 0

Logo:

x 2 = t x 1 = 1 3 t

O autovetor associado é:

λ 1 = 2 ⇒ x → 1 = t 1 / 3 1

E a base do autovetor é

p → 1 = 1 / 3 1

Passo 3

Para λ 2 = - 1

- 2 0 - 6 0 x 1 x 2 = 0

x 1 = 0 x 2 = t

O autovetor associado é:

λ 2 = 2 ⇒ x → 2 = t 0 1

E a base do autovetor é

p → 2 = 0 1

Passo 4

Agora que temos os autovetores, podemos formar o vetor P a partir deles:

P = [ p → 1 p → 2 ]

Logo:

P = 1 / 3 1 0 1

E vamos calcular a inversa por Eliminação Gaussiana:

P - 1 = 1 / 3 1 0 1 | | 1 0 0 1

Vamos multiplicar a primeira linha por 3

P - 1 = 1 1 0 1 | | 3 0 0 1

E subtraímos a primeira linha na segunda:

P - 1 = 1 0 0 1 | | 3 - 3 0 1

A inversa é:

P - 1 = 3 - 3 0 1

Passo 5

Agora vamos calcular a matriz diagonal:

P - 1 A P = 3 - 3 0 1 1 0 6 - 1 1 / 3 1 0 1

Vamos multiplicar as duas primeiras matrizes:

P - 1 A P = 3 + 0 - 3 + 6 0 + 0 0 - 1 1 / 3 1 0 1

P - 1 A P = 3 3 0 - 1 1 / 3 1 0 1

E agora multiplicar a matriz resultante pela matriz P:

P - 1 A P = 1 + 0 1 - 1 0 + 0 0 - 1

A matriz diagonal resultante é:

P - 1 A P = 1 0 0 - 1

Resposta

P - 1 A P = 1 0 0 - 1

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Nos Exercícios 12-15, encontre uma matriz P que diagonalize A e calcule P - 1 A P . A = 1 0 0 0 1 1 0 1 1
Em cada parte, calcule a potência indicada de A = 1 - 2 8 0 - 1 0 0 0 - 1
Encontre A n se n for um inteiro positivo e: A = 3 - 1 0 - 1 2 - 1 0 - 1 3
No Exercício 4, mostre que A e B não são matrizes semelhantes.A = 1 0 1 2 0 2 3 0 3 , B = 1 1 0 2 2 0 0 1 1