Enunciado

Nos exercícios de 7-11 use o método do Exercício 6 para determinar se a matriz é diagonalizável.

2 - 1 0 1 0 2 1 - 1 0 0 3 2 0 0 0 3

Passo 1

A questão nos dá a seguinte matriz:

A = 2 - 1 0 1 0 2 1 - 1 0 0 3 2 0 0 0 3

Como essa é uma matriz triangular superior, então podemos extrair os Autovetores direto da diagonal principal. Os autovalores são:

λ 1 = λ 2 = 2 λ 3 = λ 4 = 3

Passo 2

Agora vamos calcular os Autovetores.

λ - 2 1 0 - 1 0 λ - 2 - 1 1 0 0 λ - 3 - 2 0 0 0 λ - 3 x 1 x 2 x 3 x 4 = 0

Aplicando para a situação em que λ = 2

0 1 0 - 1 0 0 - 1 1 0 0 1 - 2 0 0 0 1 x 1 x 2 x 3 x 4 = 0

Vamos aplicar a eliminação Gaussiana. Vamos somar a quarta linha duas vezes na terceira linha, subtrair uma vez na segunda, e somar uma vez na primeira:

0 1 0 0 0 0 - 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 x 1 x 2 x 3 x 4 = 0

Logo:

x 2 = x 3 = x 4 = 0

x 1 = t

Então o autovetor é:

λ = 2 ⇒ x → = t 1 0 0 0

Passo 3

Aplicando para a situação em que λ = 3

1 1 0 - 1 0 1 - 1 1 0 0 0 - 2 0 0 0 0 x 1 x 2 x 3 x 4 = 0

Vamos aplicar a eliminação Gaussiana. Primeiro, dividimos a linha três por (-2)

1 1 0 - 1 0 1 - 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 x 1 x 2 x 3 x 4 = 0

E agora somamos a linha três na primeira linha, e subtraímos na segunda linha:

1 1 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 x 1 x 2 x 3 x 4 = 0

Logo:

x 1 = - x 2 = x 3 = 0

x 4 = t

Então o autovetor é:

λ = 3 ⇒ x → = t 0 0 0 1

Passo 4

Essa matriz possui apenas dois Autovetores bases, então ela não pode ser diagonalizada.

Resposta

A matriz não pode ser diagonalizada

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