Enunciado

Nos Exercícios 17-20, encontre a solução geral do sistema linear e confirme que os vetores linha da matriz de coeficientes são ortogonais aos vetores solução.

18.

      x 1 + 3 x 2 - 4 x 3 = 0 2 x 1 + 6 x 2 - 8 x 3 = 0  

Passo 1

Podemos rescrever nosso sistema na forma matricial, para resolvermos nosso problema, logo:

1 3 - 4 2 6 - 8   ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0  

Vamos encontrar a solução do sistema por meio da matriz aumentada M .

1 3 - 4 2 6 - 8       0       0

L 2 ← L 2 - 2 L 1

Fazendo essas operações lineares na nossa matriz, temos:

1 3 - 4 0 0       0       0       0

Como a segunda linha, é nula, podemos omiti-la para solucionar o sistema, logo nosso sistema vai ficar da forma:

1 3 - 4 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0

x 1 + 3 x 2 - 4 x 3 = 0

Passo 2

Como nosso sistema, é um sistema homogêneo, e já o escalonamos, então podemos obter a solução a partir dessa equação:

x 1 + 3 x 2 - 4 x 3 = 0

    x 1 = - 3 x 2 + 4 x 3 x 2 = x 2 x 3 = x 3

De acordo com o livro, adotamos as letras r , s , t para solução, logo a solução é:

    x 1 = - 3 s + 4 t ,   x 2 = s   e x 3 = t

Passo 3

Para verificarmos que os vetores linha da matriz de coeficientes são ortogonais aos vetores solução, podemos escrever a solução de forma vetorial.

x = ( - 3 s + 4 t   ,   s   , t )

e temos o vetor linha r 1 = ( 1,3 , - 4 ) , fazendo o produto escalar:

r 1 ⋅ x = 1,3 , - 4 ⋅ - 3 s + 4 t   ,   s   , t = 1 - 3 s + 4 t + 3 s - 4 t

= - 3 s + 4 t + 3 s - 4 t = 0

e temos o vetor linha r 2 = ( 2 , 6 , - 8 ) , fazendo o produto escalar:

Como o vetor r 2 tem suas componentes como o dobro de das componentes de r 1 , então:

r 2 ⋅ x = 2 ⋅ r 1 ⋅ x = 2 ⋅ 0 = 0

Como r 1 ⋅ x = 0 e r 2 ⋅ x = 0 , podemos concluir que vetores linha da matriz de coeficientes são ortogonais aos vetores solução.

Resposta

    x 1 = - 3 s + 4 t ,   x 2 = s   e x 3 = t

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