Seja A uma matriz (diferente da matriz identidade) que satisfaça as condições enunciadas no Exercício . Pode ser mostrado que se for um vetor não nulo qualquer em , então o vetor determina um eixo de rotação quando for posicionado com seu ponto inicial na origem. [Ver o artigo The Axis of Rotation: Analysis, Algebra, Geometry, por Dan Kalman, em Mathematics Magazine, Vol. , , outubro de .]
- Mostre que a multiplicação por
- Encontre um vetor de comprimento 1 que define um eixo da rotação.
- Encontre todas as soluções da equação do Exercício que pertençam ao intervalo e, substituindo essas soluções na fórmula , encontre um ângulo de rotação em torno do eixo da parte que resulta da multiplicação pela matriz da parte .
É uma rotação.
Passo 1
- 
Vamos lá! Essa questão é tipo ENEM, o enunciado não serve pra nada além de te desorientar! Exceto pelo artigo de referência! (-_-) tendo isso em mente vamos nos focar nas nossas letras! Agora tendo isso em mente, vamos relembrar da nossa matriz da formula , que é dada por:  Agora vamos comparar com a nossa matriz : Assim temos: que , logo: Se fizermos , temos: Substituindo os valores de nos itens de temos: Assim: Logo nossa matriz se trata de uma rotação por um ângulo de sofrida por um vetor: Passo 2
- 
Para um vetor de dimensão o artigo sugere que esse vetor seja: Vamos nossa matriz padrão de rotação do eixo : Como nossa matriz deve ser unitária temos que: Logo os únicos ângulos possíveis pra isso no intervalo são: Assim nossa matriz fica: Passo 3
Se olharmos com carinho o enunciado ele nos diz que ele quer um ângulo que atenda a equação:
E que esteja contido no intervalo de .
Mas contanto que nosso vetor seja unitário todos os ângulos entre atendem esse pré-requisito.
Como ele quer um ângulo de rotação pela matriz:
Pela matriz .
Como nosso ângulo deve atender a regra:
Então temos que nos preocupar somente com a diagonal principal da nossa matriz :
Agora podemos calcular nosso .
Resposta
- Vide questão
