Enunciado

Nos Exercícios 17-20, encontre a solução geral do sistema linear e confirme que os vetores linha da matriz de coeficientes são ortogonais aos vetores solução.

20.

      x 1 + 3 x 2 - 4 x 3 = 0       x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 0  

Passo 1

Podemos rescrever nosso sistema na forma matricial, para resolvermos nosso problema, logo:

1 3 - 4 1 2       3 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0  

Vamos encontrar a solução do sistema por meio da matriz aumentada M .

1 3 - 4 1 2       3       0       0

L 2 ← L 2 - L 1

Fazendo essas operações lineares na nossa matriz, temos:

1       3 - 4 0 - 1       7       0       0

Como já escalonamos a matriz aumentada, podemos voltar para a forma original de sistema:

1       3 - 4 0 - 1       7 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0

      x 1 + 3 x 2 - 4 x 3 = 0                         - x 2 + 7 x 3 = 0

Passo 2

Como nosso sistema, é um sistema homogêneo, e já o escalonamos, então podemos obter a solução a partir dessa equações:

      x 1 + 3 x 2 - 4 x 3 = 0                         - x 2 + 7 x 3 = 0

Da segunda equação temos que:

- x 2 + 7 x 3 = 0

x 2 = 7 x 3

Da primeira equação temos:

    x 1 + 3 x 2 - 4 x 3 = 0

    x 1 = - 3 x 2 + 4 x 3

Substituindo x 2 na equação:

    x 1 = - 3 ( 7 x 3 ) + 4 x 3

    x 1 = - 21 x 3 + 4 x 3

    x 1 = - 17 x 3

Prontinho, agora temos nossa solução:

    x 1 = - 17 x 3 x 2 = 7 x 3 x 3 = x 3

De acordo com o livro, adotamos as letras r , s , t para solução, logo a solução fica na forma:

    x 1 = - 17 r ,   x 2 = 7 r   , x 3 = r

Passo 3

Para verificarmos que os vetores linha da matriz de coeficientes são ortogonais aos vetores solução, podemos escrever a solução de forma vetorial.

x = - 17 r   ,   7 r   , r

e temos o vetor linha r 1 = ( 1,3 , - 4 ) , fazendo o produto escalar:

r 1 ⋅ x = 1,3 , - 4 ⋅ - 17 r   ,   7 r   , r = 1 - 17 r + 3 7 r - 4 r = - 17 r + 21 r - 4 r = 0

E temos o vetor linha r 2 = ( 1 , 2 , 3 ) , fazendo o produto escalar:

r 2 ⋅ x = 1,2 , 3 ⋅ - 17 r   ,   7 r   , r = 1 - 17 r + 2 7 r + 3 r = - 17 r + 14 r + 3 r = 0

Como r 1 ⋅ x = 0 e r 2 ⋅ x = 0 , podemos concluir que vetores linha da matriz de coeficientes são ortogonais aos vetores solução.

Resposta

    x 1 = - 17 r ,   x 2 = 7 r   , x 3 = r

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