Enunciado

Nos Exercícios 21-26, Calcule d e t ⁡ ( A ) com uma expansão em cofatores ao longo de uma linha ou coluna de sua escolha.

23.

A = 1 k k 2 1 k k 2 1 k k 2

Passo 1

Para calcular o determinante dessa matriz vamos usar o método de Expansão de Cofatores, para matrizes quadradas, no caso na questão, uma matriz 3 x 3 .

det ⁡ A = a 1 j C 1 j + a 2 j C 2 j + … + a n j C n j

[expansão de cofatores ao longo da coluna j ]

det ⁡ A = a i 1 C i 1 + a i 2 C i 2 + … + a i n C i n

[expansão de cofatores ao longo da linha i ]

Ao longo de qual linha ou coluna vamos fazer a expansão de cofatores?

Observe que a primeira coluna é composta por todas as entradas com valor igual a 1 . Assim escolhendo a primeira coluna, temos:

det ⁡ A = a 11 C 11 + a 21 C 21 + a 31 C 31

det ⁡ A = 1 × C 11 + 1 × C 21 + 1 × C 31

Logo:

det ⁡ A = C 11 + C 21 + C 31

Passo 2

Agora que sabemos que o determinante dessa matriz é simplesmente a soma dos cofatores da primeira coluna, vamos encontrar o C 11 ,   C 21 e C 31 para calcular o valor do determinante.

C 11 = - 1 1 + 1   M 11 = 1 × k k 2 k k 2 = k × k 2 - k 2 × k = k 3 - k 3 = 0

C 21 = - 1 2 + 1   M 21 = - 1 × k k 2 k k 2 = - k × k 2 - k 2 × k = - ( k 3 - k 3 ) = 0

C 31 = - 1 3 + 1   M 31 = 1 × k k 2 k k 2 = k × k 2 - k 2 × k = k 3 - k 3 = 0

det ⁡ A = C 11 + C 21 + C 31

det ⁡ A = 0 + 0 + 0 = 0

Resposta

det ⁡ A = 0  

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