Lista de Exercícios Resolvidos de Determinantes e Escalonamento

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Aplicamos em uma matriz A 5 × 5 as seguintes operações elementares:

i   trocamos L 5 com L 4 ;

i i   L 4 ← L 4 + 3 L 2

i i i multiplicamos L 4 por - 4

Obtemos a matriz B = 6 1 2 3 1 0 2 5 - 1 1 0 0 - 1 3 - 5 0 0 0 3 2 0 0 0 0 1 . Calcule det ⁡ A .

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Calcule:

a det ⁡ 0 0 0 d 0 0 c e 0 b f g a h i j

b   det ⁡ M ,   M = 0 ⋯ 0 a 1 0 ⋯ a 2 x ⋮ ⋰ ⋮ ⋮ a n ⋯ x x

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Calcule, em função de a ,   b ,   c ,   d ∈ R , o determinante da matriz M abaixo,

M = a a a a a b b b a b c c a b c d

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Diga qual das matrizes abaixo não tem determinante nulo:

a   A = 1 - 4 5 2 0 0 3 2 0 0 2 1 0 0 0 6

b   B = 2 6 - 3 - 9

c   C = 1 4 9 15

d   D = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

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Calcule o determinante da matriz abaixo:

(a) det ⁡ A = - 18

(b) det ⁡ A = - 24

(c) det ⁡ A = - 30

(d) det ⁡ A = - 36

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Calcule o determinante da matriz

M = 1 2 0 0 2 1 2 0 0 2 1 - 1 0 0 - 1 1

a   det ⁡ M = - 3

b   det ⁡ M = 4

c   det ⁡ M = - 4

d det ⁡ M = 3

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Calcule o determinante da matriz 3 4 4 1 1 0 1 5 0 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1 1 1 3 3 1 5 :

(a) 8

(b) 9

(c) - 9

(d) 0

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Considere as matrizes A = - 1 4 - 1 3 2 - 2 0 0       3 2 7 0 1 0 1 1 e B = 1 0 0 1 1 - 1 0 3 1 .

(a) Calcule o determinante de A. Esta matriz A é inversível?

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Seja A = u v uma matriz 2 × 2 cujas colunas são os vetores u e v .   Considere a matriz B = v 5 u - 4 v , cujas colunas são os vetores v e 5 u - 4 v . Então:

(a) d e t ( B ) = d e t ( A )

(b) d e t ( B ) = - d e t ( A )

(c) d e t ( B ) = 5 d e t ( A )

(d) d e t ( B ) = - 5 d e t ( A )

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Seja A = u v uma matriz 2 × 2 cujas colunas são os vetores u e v . Suponha que det ⁡ A = 1 .   O determinante da matriz 3 u - 3 v 3 u + 2 v   vale:

(a) 15

(b) 16

(c) 18

(d) 19

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Sabendo que

det ⁡ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 11 1 1 1 c = a

Calcule, em função de a :

det ⁡ 3 6 9 12 9 10 10 11 5 6 7 8 10 11 11 11 + c

a   3 a

b - 3 a

c - a

d   a

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Calcule det ⁡ 1 1 1 1 1 2 3 6 1 4 5 2 1 1 4 1 .

a   42

b   38

c   56

d   46

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O determinante da matriz 3 3 0 1 3 4 2 2 3 2 - 1 1 - 3 - 4 - 1 1 é:

( a ) 6

( b ) - 39

( c ) - 38

( d ) 7

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Seja

A = 1 a a 2 1 b b 2 1 c c 2

com a , b , c reais arbitrários. Então:

a   det ⁡ A = b - a a - c c - b

b   det ⁡ A = b - a c - a c - b

c   det ⁡ A = b 2 - a 2 a 2 - c 2 c 2 - b 2

d det ⁡ A = b 2 - a 2 b - a b + c

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Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n . Considere as seguintes afirmações:

I Se A ~ B através de uma operação que substitui uma linha por uma soma entre outras linhas, então det ⁡ A = det ⁡ B .

I I det ⁡ α A = α n det ⁡ A , para todo α ∈ R .

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( d ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

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