Enunciado

Nos Exercícios 1 – 4 , encontre uma decomposição em valores singulares reduzida de A. [Observação: cada matriz aparece no Conjunto de exercícios 9.5 , onde foi pedida a decomposição em valores singulares não reduzida.]

A = 6 0 4       4 0 0

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos que encontrar a decomposição reduzida do valor singular da matriz fornecida. Para isso temos que calcular A T A :

A T A = 6 4       0 0       4 0 6 0 4       4 0 0

A T A = 6 6 + 0 0 + 4 4 4 6 + 0 0 + 0 4       6 4 + 0 0 + 4 0 4 4 + 0 0 + 0 0

A T A = 52 24       24 16

Os auto valores de A T A são:

λ 1 = 64

λ 2 = 4

Com os autovetores correspondentes:

1 2 e - 2 1

Como esses vetores são ortogonais, nós normalizamos para obter:

v 1 = 1 / 5   2 / 5  

v 2 = - 2 / 5   1 / 5  

Passo 2

Os valores singulares de A são:

σ 1 = λ 1 = 64 = 8

σ 2 = λ 2 = 4 = 2

Temos então que:

V = 1 5 2 5     - 2 5 1 5  

∑ = 8 0 0       0 2 0

Passo 3

Agora, para encontrar U , temos que calcular:

u 1 = 1 σ 1 A v 1

u 1 = 1 8 6 0 4       4 0 0 1 5 2 5

u 1 = 7 4 5 0 1 2 5

Temos também que:

u 2 = 1 σ 2 A v 2

u 2 = 1 2 6 0 4       4 0 0 - 1 5 1 5

u 2 = - 4 5 0 - 4 5

O vetor u 3 deve ser a solução do sistema linear homogêneo:

7 4 5 - 4 5       0 0       1 2 5 - 4 5 x 1 x 2 x 3 = 0 0

Passo 4

A partir disso, obtemos as equações x 1 + x 3 = 0 . Resolvendo essas equações, obtemos a solução geral:

x 1 x 2 x 3 = t 1 0 - 1

Normalizando esse vetor, temos:

1 2 0 - 1 2

Esses vetores já formam uma base ortonormal para R 3 portanto:

U = 7 4 5 0 1 2 5       - 4 5 0 - 4 5       1 2 0 - 1 2

Portanto, a decomposição do valor singular de A é:

A = U ∑ V T

A = 7 4 5 0 1 2 5       - 4 5 0 - 4 5       1 2 0 - 1 2 8 0 0       0 2 0 1 5 - 2 5     2 5 1 5  

Passo 5

Sabemos que a decomposição de valor singular reduzido de uma matriz é:

A = u 1 σ 1 v 1 T + ⋯ + u k σ k v k T

Portanto, a decomposição do valor singular da matriz fornecida é:

A = 7 4 5 0 1 2 5 8 1 5     2 5 + - 4 5 0 - 4 5 2 - 2 5     1 5

Resposta

A = 7 4 5 0 1 2 5 8 1 5     2 5 + - 4 5 0 - 4 5 2 - 2 5     1 5

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Quais das seguintes aplicações de R 3 em R 3 são operadores lineares? F 3 x , y , z = x , x , x
Quais das seguintes aplicações de R 3 em R 3 são operadores lineares? F 3 x , y , z = 2 x 2 + 3 y , x , z