Enunciado

A base de M 22 dada no exemplo 4 consiste em matrizes não invertíveis. Será que existe alguma base de M 22 consistindo em matrizes invertíveis? Justifique sua resposta.

Passo 1

Desejamos descobrir se existe alguma base para as matrizes 2 × 2 onde todas as matrizes sejam invertíveis pois bem, de antemão já podemos garantir que existe e para justificar nossa resposta vamos utilizar um exemplo que já foi dado no livro que é o exercício 5 . Nele é provado que o seguinte conjunto de matrizes é base de M 22

S = 3 6 3 - 6 , 0 - 1 - 1 0 , 0 - 8 - 12 - 4 , 1 0 - 1 2

O interessante desse exercício é que podemos notar que o determinante de cada uma dessas matriz é dado por

3 6 3 - 6 = - 36

0 - 1 - 1 0 = - 1

0 - 8 - 12 - 4 = - 96

1 0 - 1 2 = 2

Como todos os determinantes deram resultados diferentes de zero, podemos concluir que todas as matrizes são invertíveis e, portanto, a pergunta ao questionamento feito no exercício é sim.

Resposta

Sim.

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