Enunciado

Nos Exercícios 5 – 8 , encontre uma expansão em valores singulares reduzida de A.

A matriz A do Exercício 2 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos que:

A = - 2 2       - 1 1       2 - 2

Temos que encontrar a expansão reduzida do valor singular da matriz fornecida. Primeiro calculamos a decomposição do valor singular da matriz fornecida. Para isso temos que calcular A T A :

A T A = - 2 - 1 2       2 1 - 2 - 2 2       - 1 1       2 - 2

A T A = - 2 - 2 + 2 2 - 1 - 2 + 1 2 2 - 2 + ( - 2 ) ( 2 )         - 2 - 1 + 2 1 - 1 - 1 + 1 1 2 - 1 + - 2 1       - 2 - 2 + 2 2 - 1 2 + 1 - 2 - 2 2 + - 2 - 2

A T A = 8 4 - 8       4 2 - 4       - 8 - 4 8

Os auto valores de A T A são:

λ 1 = 18

λ 2 = 0

Com os autovetores correspondentes:

- 2 - 1 2 , 1 0 1 e - 1 2 0

Como esses vetores são ortogonais, nós normalizamos para obter:

v 1 = - 2 3 - 1 3 2 3

v 2 = 1 2 0 1 2

v 3 = - 1 5 2 5 0

Passo 2

Os valores singulares de A são:

σ 1 = λ 1 = 18 = 3 2

σ 2 = λ 2 = 0 = 0

Temos então que:

V = - 2 3 - 1 3 2 3       1 2 0 1 2       - 1 5 2 5 0

∑ = 3 2 0 0       0 0 0

Passo 3

Agora, para encontrar U , temos que calcular:

u 1 = 1 σ 1 A v 1

u 1 = 1 3 2 - 2 2       - 1 1       2 - 2 - 2 3 - 1 3 2 3

u 1 = 1 2 - 1 2

Temos também que:

u 2 = 1 σ 2 A v 2

u 2 = - 1 2 1 2

Passo 4

Esses vetores já formam uma base ortonormal para R 3 portanto:

U = 1 2 - 1 2       - 1 2 1 2

Portanto, a decomposição do valor singular de A é:

A = U ∑ V T

A = 1 2 - 1 2       - 1 2 1 2 3 2 0       0 0       0 0 - 2 3 1 2 - 1 5       - 1 3 0 2 5       2 3 1 2 0

Passo 5

Sabemos que a expansão de valor singular reduzido de uma matriz é:

A = u 1 σ 1 v 1 T + u 2 σ 2 v 2 T

Portanto, a expansão do valor singular da matriz fornecida é:

A = 3 2 1 2 - 1 2 - 2 3     - 1 3       2 3

Resposta

A = 3 2 1 2 - 1 2 - 2 3     - 1 3       2 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

13 Mostrar que um operador F e L(V) é idempotente se, e somente se, I-F é idempotente.
13 Mostrar que um operador F e L(V) é idempotente se, e somente se, I-F é idempotente.
17 Sejam F, G e L(V) tais que FoG=GoF. Mostrar que:
19 Mostrar que o operador derivação Pn(R) é nilpotente.
10 Mostrar que um operador F e L(V) é idempotente se, e somente se, I-F é idempotente.