Enunciado

Nos exercícios 3-4, mostre que u → , v → e a satisfazem o Teorema 5.3.1

u → = 6 ,   1 + 4 i , 6 - 2 i

v → = ( 4 ,   3 + 2 i ,   i - 3 )

a = - i

Passo 1

O Teorema 5.3.1 faz quatro afirmações, então vamos prova-las uma a uma:

  1.   u →   ̿ = u →
  2. Vamos calcular o conjugado do conjugado:

      u →   ̿ =   6 ,   1 + 4 i , 6 - 2 i   - -   u   - =   6 ,   1 - 4 i , 6 + 2 i -

    Chagamos em:

      u →   ̿ = 6 ,   1 + 4 i , 6 - 2 i

    O que mostra que o conjugado do conjugado é o próprio vetor:

      u →   ̿ = u →

    Passo 2

  3. a ⋅ u → - = a - ⋅ u → -
  4. LADO ESQUERDO: a ⋅ u → -

    Primeiro vamos calcular o lado esquerdo:

    a ⋅ u → - = - i ⋅ 6 ,   1 + 4 i , 6 - 2 i -

    Efetuamos a multiplicação por escalar:

    a ⋅ u → - = ( - 6 i ,   - 1 i - 4 ( - 1 ) , - 6 i + 2 ( - 1 ) ) -

    E efetuamos o conjugado:

    a ⋅ u → - = ( - 6 i ,   4 - i , - 2 - 6 i ) -

    a ⋅ u → - = ( 6 i ,   4 + i , - 2 + 6 i )

    LADO DIREITO: a - ⋅ u → -

    E agora vamos calcular o lado direito:

    a - ⋅ u → - = - i - ⋅ 6 ,   1 + 4 i , 6 - 2 i -

    Efetuamos os conjugados

    a - ⋅ u → - = i ⋅ 6 ,   1 - 4 i , 6 + 2 i

    a - ⋅ u → - = 6 i , i - 4 - 1 ,   6 i + 2 ( - 1 )

    a - ⋅ u → - = 6 i , 4 + i , - 2 + 6 i

    Como os resultados do lado esquerdo e direto são iguais, então a propriedade é verdadeira.

    Passo 3

  5. u → + v → - = u → - + v → -
  6. LADO ESQUERDO:   u → + v → -

    u → + v → - = 6 ,   1 + 4 i , 6 - 2 i + ( 4 ,   3 + 2 i ,   i - 3 ) -

    Efetuamos a soma dos vetores:

    u → + v → - = 10 ,   4 + 6 i ,   3 - i -

    E efetuamos o conjugado:

    u → + v → - = ( 10,4 - 6 i , 3 + i )

    LADO ESQUERDO: u → - + v → -

    u → - + v → - = 6 ,   1 + 4 i , 6 - 2 i - + ( 4 ,   3 + 2 i ,   i - 3 ) -

    Efetuamos os conjugados:

    u → - + v → - = ( 6 ,   1 - 4 i , 6 + 2 i ) + ( 4 ,   3 - 2 i , -   i - 3 )

    E efetuamos a soma dos vetores:

    u → - + v → - = ( 10,4 - 6 i , 3 + i )

    Como os resultados do lado esquerdo e direto são iguais, então a propriedade é verdadeira.

    Passo 4

  7. u → - v → - = u → - - v → -

LADO ESQUERDO:   u → - v → -

u → - v → - = 6 ,   1 + 4 i , 6 - 2 i - ( 4 ,   3 + 2 i ,   i - 3 ) -

Efetuamos a subtração dos vetores:

u → - v → - = ( 2 ,   - 2 + 2 i , 9 - 3 i ) -

E efetuamos o conjugado:

u → - v → - = 2 ,   - 2 - 2 i , 9 + 3 i

LADO ESQUERDO: u → - - v → -

u → - - v → - = 6 ,   1 + 4 i , 6 - 2 i - - ( 4 ,   3 + 2 i ,   i - 3 ) -

Efetuamos os conjugados:

u → - - v → - = 6 ,   1 - 4 i , 6 + 2 i - ( 4 ,   3 - 2 i ,   i + 3 )

E efetuamos a subtração dos vetores:

u → - - v → - = ( 2 ,   - 2 - 2 i , 9 + 3 i )

Como os resultados do lado esquerdo e direto são iguais, então a propriedade é verdadeira.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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