Enunciado

Nos exercícios de 19-22, cada matrix C tem a forma (15). O Teorema 5.3.7 implica que C é o produto de uma matriz de contração ou dilatação de fator | λ | pela matriz de rotação de ângulo ϕ . Encontre | λ | e o ângulo ϕ tal que - π < ϕ < π

C = 0 - 5 5 0

Passo 1

O Teorema 5.3.7 diz que para uma matriz do formato: C = a - b b a os autovalores da matriz são:

λ = a ± b ⋅ i

E que a matriz pode ser fatorada como:

a - b b a = | λ | 0 0 | λ | cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ - sen ⁡ ϕ -   cos ⁡ ϕ

Mas se a gente fizer o produto matricial, vamos chegar em:

a - b b a = | λ | cos ⁡ ϕ | λ | sen ⁡ ϕ - | λ | sen ⁡ ϕ | λ | cos ⁡ ϕ

O que implica dizer que:

a = λ cos ⁡ ϕ b = | λ | sen ⁡ ϕ

Vamos aplicar isso na matriz dada pela questão:

Passo 2

A questão nos dá a seguinte matriz:

C = 0 - 5 5 0

Ou seja:

a = 0 b = - 5

Pelo Teorema 5.3.7 os autovalores dessa matriz são:

λ = a ± b i = ± 5 i

Então o valor absoluto dos autovalores serão:

λ = a ± b i

| λ | = a 2 + b 2

λ = 0 2 + ( - 5 ) 2

λ = 5

Passo 3

E para calcular o ângulo ϕ , vamos usar as seguintes relações:

a = λ cos ⁡ ϕ b = | λ | sen ⁡ ϕ

Vamos aplicar os valores:

0 = 5 cos ⁡ ϕ ⇒ cos ⁡ ϕ = 0

- 5 = 5 sen ⁡ ϕ ⇒ sen ⁡ ϕ = - 1

Logo:

ϕ = - 90 º = - π 2

Resposta

λ = 5

ϕ = - 90 º = - π 2

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